Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital): \lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-1\right) \cos \left(\frac{\pi}{x}\right)
\text{(i) } \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \text{ está definido para }x\neq 0\text{ e oscila entre }-1\text{ e }1.
\text{(ii) } e^{x}-1 \text{ é uma função que tende a }0\text{ quando }x\to 0\\ (\text{o valor }e^0=1).
O que se pede: determinar o limite acima quando x se aproxima de 0.
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (explicada didaticamente): se uma função g(x) é limitada (isto é, existe M>0 com |g(x)|\le M perto do ponto) e outra função h(x) tende a 0 quando x\to a, então o produto h(x)g(x) tende a 0 quando x\to a. Isto é fácil de ver: |h(x)g(x)|\le M|h(x)| e como |h(x)|\to 0, o produto também vai a 0. Esta é uma forma prática do Teorema do Confronto (teorema do sanduíche) aplicada a produtos com fator que tende a zero.
Passo 3
Aplicando a observação ao nosso caso:
primeiro notamos que, para todo x\neq 0,
Agora precisamos mostrar que |e^{x}-1|\to 0 quando x\to 0. Uma maneira direta e intuitiva de ver isto é usar a série de Taylor (Maclaurin) da exponencial: