Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-1\right) \cos \left(\frac{\pi}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr).
Informações dadas (ou óbvias no enunciado):
\text{(i) } \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \text{ está definido para }x\neq 0\text{ e oscila entre }-1\text{ e }1.á
\text{(ii) } e^{x}-1 \text{ é uma função que tende a }0\text{ quando }x\to 0\\ (\text{o valor }e^0=1).éçã
O que se pede: determinar o limite acima quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (explicada didaticamente): se uma função g(x) é limitada (isto é, existe M>0 com |g(x)|\le M perto do ponto) e outra função h(x) tende a 0 quando x\to a, então o produto h(x)g(x) tende a 0 quando x\to a. Isto é fácil de ver: |h(x)g(x)|\le M|h(x)| e como |h(x)|\to 0, o produto também vai a 0. Esta é uma forma prática do Teorema do Confronto (teorema do sanduíche) aplicada a produtos com fator que tende a zero.

Passo 3

Aplicando a observação ao nosso caso:
primeiro notamos que, para todo x\neq 0,
\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)\bigr|\le 1,
pela propriedade trigonométrica básica de \cos. Portanto
\Bigl|\bigl(e^{x}-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)\Bigr| =|e^{x}-1|\cdot\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)\bigr| \le |e^{x}-1|.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que |e^{x}-1|\to 0 quando x\to 0. Uma maneira direta e intuitiva de ver isto é usar a série de Taylor (Maclaurin) da exponencial:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 obtemos
e^{x}-1 = x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Quando x\to 0, cada termo x^{n}/n! tende a 0 (porque contém um fator x^{n} com n\ge 1), então a soma inteira tende a 0. Assim
\lim_{x\to 0}|e^{x}-1|=0.
(Em linguagem mais simples: e^{x} é contínua e e^{0}=1, logo e^{x}\to 1 quando x\to 0, então e^{x}-1\to 0.)

Passo 5

Unindo os passos anteriores: temos a desigualdade para x próximos de 0
-\;|e^{x}-1|\;\le\; \bigl(e^{x}-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)\;\le\; |e^{x}-1|.
Como \lim_{x\to 0}-|e^{x}-1|=0 e \lim_{x\to 0}|e^{x}-1|=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)=0.

Resposta

0

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