Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=50 t-150, \quad y(3)=-4, \quad y^{\prime}(3)=14
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+2y'+5y=50t-150,
com condições iniciais em t=3:
y(3)=-4,\qquad y'(3)=14.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições.
Passo 2
Observação importante: a transformada de Laplace é mais prática quando as condições iniciais estão em t=0. Aqui elas estão em t=3. Para contornar isso, fazemos uma mudança de variável de tempo para deslocar o instante inicial para zero. Definimos
\tau=t-3,\qquad u(\tau)=y(\tau+3).
Então \tau=0 corresponde a t=3. Como derivadas em t e em \tau coincidem (derivada temporal pura),
Da última equação 5B=50\] vem \(B=10. Da terceira 5A+2B=0 obtemos 5A+20=0\Rightarrow A=-4. Da primeira C=-A=4. Da segunda 2A+B+D=0\Rightarrow 2(-4)+10+D=0\Rightarrow D=-2.
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{10}{s^2}\right\}=10\tau porque \mathcal{L}\{\tau\}=1/s^2.
Para \displaystyle \frac{4}{(s+1)^2+4}, reconhecemos a forma \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2} com a=1 e b=2. Como \mathcal{L}\{e^{-a\tau}\sin(b\tau)\}=\dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}, temos
Verificação rápida das condições iniciais: em t=3 (ou \tau=0) temos y(3)=-4+0+0=-4 e derivando u(\tau) e avaliando em \tau=0 obtém-se u'(0)=10+2(-0+2)=14, logo as condições são satisfeitas.