Exercício 8 Calcule a solução do problema de valor inicial:
l 10 y^prime prime(t)-3 y^prime(t)-4 y(t)=de<a(t-pi) cos (t) y(0)=0, y^prime(0)=110

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
10,y''(t)-3,y'(t)-4,y(t)=de<a(t-pi)cos t, y(0)=0, y'(0)=tfrac110
O conteúdo usado será transformada de Laplace, incluindo a transformada de uma função-impulso e de derivadas, para obter Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=Ly(t), temos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-tfrac110,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
Lde<a(t-pi)cos t=cos(pi),e^-pi s=-e^-pi s
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10l(s^2Y-tfrac110r)-3l(sYr)-4Y=-e^-pi s

Passo 3

Reunindo termos em Y(s):
10s^2Y -1 -3sY -4Y=-e^-pi s Longrightarrow Y(s)l(10s^2-3s-4r)=1 - e^-pi s
Como
10s^2-3s-4=10l(s-tfrac45r)l(s+tfrac12r),
segue
Y(s)=1-e^-pi s10,(s-tfrac45)(s+tfrac12)

Passo 4

Fazemos frações parciais em
110,(s-tfrac45)(s+tfrac12) =As-tfrac45+Bs+tfrac12
Temos
A+B=0, tfracA2-tfrac4B5=tfrac110,
de onde A=tfrac113, B=-tfrac113. Então
110,(s-tfrac45)(s+tfrac12) =113l(1s-tfrac45-1s+tfrac12r)

Passo 5

Escrevendo
Y(s) =113l(1s-tfrac45-1s+tfrac12r) ;-;e^-pi s13l(1s-tfrac45-1s+tfrac12r),
invertendo a Laplace e usando o deslocamento no tempo, obtemos
y(t) =113l(e^tfrac45t-e^-tfract2r) ;-;113H(t-pi)l(e^tfrac45(t-pi)-e^-tfrac12(t-pi)r),
onde H é a função degrau unitário. Pode-se verificar que y(0)=0 e y'(0)=tfrac110.

Resposta

boxed y(t) =113l(e^tfrac45t-e^-tfract2r) -113H(t-pi)l(e^tfrac45(t-pi)-e^-tfrac12(t-pi)r)

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