Exercício 8 Calcule a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
O conteúdo usado será transformada de Laplace, incluindo a transformada de uma função-impulso e de derivadas, para obter
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
, temos
Logo a ODE vira
Passo 3
Reunindo termos em
:
Como
segue
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Temos
de onde
,
. Então
Passo 5
Escrevendo
invertendo a Laplace e usando o deslocamento no tempo, obtemos
onde
é a função degrau unitário. Pode-se verificar que
e
.