Exercício 7 Resolva o seguinte PVI
l 2 y^prime prime(t)+2 y^prime(t)+2 y(t)=f(t) y(0)=0, y^prime(0)=0
em que
f(t)= 0, & para 0 <= t<3 2, & para, 3 <= t<10 0, & para t >= 10

Passo 1

Temos o PVI
2,y''(t)+2,y'(t)+2,y(t)=f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
com
f(t)= 0, & 0<= t<3, 2, & 3<= t<10, 0, & t>=10
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento em degraus, usando transformada de Laplace e funções degrau (unit-step).

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos da função degrau u(t-a). Como f(t)=2 no intervalo [3,10) e zero fora, temos
f(t)=2l[u(t-3)-u(t-10)r]

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
2y''+2y'+2y=f(t),
usando y(0)=0 e y'(0)=0. Chamando Y(s)= Ly(t), obtemos
2l[s^2Y(s)r]+2l[sY(s)r]+2Y(s) = Lf(t) =2l[e^-3ss-e^-10ssr]

Passo 4

Fatorando à esquerda:
(2s^2+2s+2),Y(s) =2,e^-3s-e^-10ss ;Longrightarrow; Y(s) =e^-3s-e^-10ss,(s^2+s+1)

Passo 5

Fazemos frações parciais em
1s(s^2+s+1) = A s+Bs+Cs^2+s+1
Igualando numeradores:
1=A(s^2+s+1)+(Bs+C)s
leva a
A=1, B=-1, C=-1
Logo
1s(s^2+s+1) =1s-s+1s^2+s+1

Passo 6

Invertendo a transformada sem os fatores de atraso e^-as, definimos
g(t)= L^-1l1s(s^2+s+1)r = L^-1l1sr - L^-1ls+1s^2+s+1r
Sabemos L^-11/s=1. Para tfracs+1s^2+s+1, complete o quadrado:
s^2+s+1=(s+tfrac12)^2+tfrac34,
s+1s^2+s+1 =(s+tfrac12)+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2
Assim
L^-1ls+1s^2+s+1r =e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr) +1raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)
Portanto
g(t) =1 -;e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3sin!l(tfracraiz32tr)r]

Passo 7

Pela propriedade de atraso da Laplace,
L^-1e^-asG(s)=u(t-a),g(t-a)
Como
Y(s) =l[e^-3s-e^-10sr];1s(s^2+s+1),
temos
y(t) =u(t-3),g(t-3);-;u(t-10),g(t-10)

Passo 8

Substituindo g, a solução final fica
y(t) = u(t-3)l[ 1 -e^-tfract-32l(costfracraiz32(t-3) +tfrac1raiz3sintfracraiz32(t-3)r) r] [-3pt] - u(t-10)l[ 1 -e^-tfract-102l(costfracraiz32(t-10) +tfrac1raiz3sintfracraiz32(t-10)r) r] ]

Resposta

y(t) = u(t-3)l[ 1 -e^-tfract-32l(costfracraiz32(t-3) +tfrac1raiz3sintfracraiz32(t-3)r) r] [-3pt] - u(t-10)l[ 1 -e^-tfract-102l(costfracraiz32(t-10) +tfrac1raiz3sintfracraiz32(t-10)r) r] ]

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