Exercício 2.1.1. Calcule a soma
S=sumk=1^n kbinomnk

Passo 1

O enunciado pede calcular a soma
S=sumk=1^nkbinomnk,
que envolve coeficientes binomiais e técnicas de manipulação de séries. Vamos usar o Teorema Binomial e sua derivada para trazer o fator k para fora do somatório.

Passo 2

Pela Teorema Binomial, para todo x temos
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x e depois multiplicando por x, obtemos
ddx(1+x)^n=n(1+x)^n-1,
sumk=0^nkbinomnkx^k-1=n(1+x)^n-1,
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sumk=0^nkbinomnkx^k =nx(1+x)^n-1

Passo 4

Para calcular S basta escolher x=1. Note que o termo k=0 na soma é zero, então
S=sumk=1^nkbinomnk =sumk=0^nkbinomnk =ncdot1cdot(1+1)^n-1 =n,2^n-1

Resposta

S = n,2^n-1

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