Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
c) \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}.
  • A soma é da forma de uma série infinita com índice k que vai de 1 a \infty.

Passo 2

Vamos reconhecer que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem termo geral r^{k} (ou ar^{k-1}), onde r é a razão. Aqui podemos identificar a razão
r=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Vou lembrar (e derivar) a fórmula da soma parcial de uma série geométrica. Seja
S_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicando S_n por (1-r) obtemos (derivação clássica)
(1-r)S_n = S_n - rS_n = (r+r^{2}+\cdots+r^{n}) - (r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n+1}) = r - r^{n+1}.
Daí
S_n=\frac{r - r^{n+1}}{1-r} = \frac{r(1-r^{n})}{1-r}.

Passo 3

Para passar da soma parcial S_n para a soma infinita, tomamos o limite quando n\to\infty. Se |r|<1 então \lim_{n\to\infty} r^{n}=0, e assim a soma infinita converge para
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{r}{1-r}.
Portanto a condição de convergência é |r|<1.

Passo 4

Verifiquemos a condição para o nosso r. Como \sqrt{2}>1, temos
\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}<1,
logo a série converge e podemos usar a fórmula \dfrac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicando a fórmula com r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.
Agora simplificamos essa expressão passo a passo. Primeiro multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}.
Para racionalizar e obter uma forma mais simples, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2}+1:
\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1.

Passo 6

Como checagem numérica rápida: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 e a soma \sqrt{2}+1\approx 2,4142. Tudo consistente.
Força aí — você resolveu uma soma infinita bonita e rápida!

Resposta

\sqrt{2}+1

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