Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita cujo termo geral é
, somando para
de
até infinito. Ou seja, queremos
Informações dadas e o que é pedido:
- A sequência de termos é
para . - O objetivo é encontrar o valor numérico da soma infinita
.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar linearidade da soma (soma de séries). Podemos escrever a série como a soma de duas séries separadas:
Regra usada (explicação didática): se duas séries convergem, então a soma termo a termo também converge e a soma total é a soma das somas individuais. Portanto, vamos estudar cada uma das séries à direita.
Passo 3
Reconhecendo séries geométricas e recordando a fórmula (aula rápida e didática):
- Uma série geométrica na forma
converge se, e somente se, . - Quando
, a soma vale
Derivação curta da fórmula (passo a passo): considere a soma parcial
. Multiplicando por
obtemos
Logo
Se
, então
quando
, e portanto
.
Agora aplicar isso às nossas duas séries:
- Para a primeira série,
Aqui
e
, então a série converge e sua soma é
- Para a segunda série,
Aqui
e
, então a série converge e sua soma é
Passo 4
Calcular explicitamente cada soma:
Somando as duas contribuições: