Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
f) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita cujo termo geral é \dfrac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}}, somando para k de 1 até infinito. Ou seja, queremos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência de termos é \displaystyle a_k=\frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}} para k=1,2,\dots.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da soma infinita \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar linearidade da soma (soma de séries). Podemos escrever a série como a soma de duas séries separadas:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{6^{k}} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{6^{k}}.
Regra usada (explicação didática): se duas séries convergem, então a soma termo a termo também converge e a soma total é a soma das somas individuais. Portanto, vamos estudar cada uma das séries à direita.

Passo 3

Reconhecendo séries geométricas e recordando a fórmula (aula rápida e didática):
  • Uma série geométrica na forma \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} r^{k} converge se, e somente se, |r|<1.
  • Quando |r|<1, a soma vale
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{r}{1-r}.
Derivação curta da fórmula (passo a passo): considere a soma parcial S_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+\dots+r^{n}. Multiplicando por (1-r) obtemos
(1-r)S_n = r - r^{n+1}.
Logo
S_n = \frac{r(1-r^{n})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty, e portanto \displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{r}{1-r}.
Agora aplicar isso às nossas duas séries:
  • Para a primeira série,
\frac{3^{k}}{6^{k}}=\left(\frac{3}{6}\right)^{k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Aqui r=\dfrac{1}{2} e |r|<1, então a série converge e sua soma é
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}.
  • Para a segunda série,
\frac{2^{k}}{6^{k}}=\left(\frac{2}{6}\right)^{k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{k}.
Aqui r=\dfrac{1}{3} e |r|<1, então a série converge e sua soma é
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Calcular explicitamente cada soma:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} = \frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 1.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{2}.
Somando as duas contribuições:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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