Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
d) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k+1}}{\pi^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k+1}}{\pi^{k}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A soma é sobre k=1,2,3,\ldots (infinito).
  • Os números fixos são 3 e \pi (lembrando que \pi\approx3{,}14159).
  • A tarefa é obter o valor numérico exato (se possível) da soma.

Passo 2

Primeiro simplifico o termo geral para reconhecer um padrão:
3^{k+1}=3\cdot 3^{k},
portanto
\frac{3^{k+1}}{\pi^{k}}=3\cdot\frac{3^{k}}{\pi^{k}}=3\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k}.
Assim a série pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k+1}}{\pi^{k}}=3\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k}.

Passo 3

Agora vamos lembrar e demonstrar a fórmula da série geométrica (útil no exame!).
Seja r um número real. A soma parcial dos primeiros n+1 termos da série geométrica começando em k=0 é
S_n=\sum_{k=0}^{n}r^{k}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicando por r e subtraindo obtemos
rS_n=r+r^{2}+\cdots+r^{n}+r^{n+1},
S_n-rS_n=1-r^{n+1},
logo, para r\neq1,
S_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{n\to\infty}r^{n+1}=0 e portanto
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Daí segue imediatamente que, para |r|<1,
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}=\frac{r}{1-r},
pois é a soma inteira menos o termo k=0 igual a 1.
Explicando o que é cada coisa: aqui r é a razão entre termos consecutivos da série geométrica; a condição |r|<1 garante que os termos tendem a zero e a soma converge para um número finito.

Passo 4

No nosso caso identificamos
r=\frac{3}{\pi}.
Verificamos a condição de convergência:
\left|\frac{3}{\pi}\right|=\frac{3}{\pi}<1
porque \pi>3. Numericamente \frac{3}{\pi}\approx0{,}9549, menor que 1, logo a série geométrica converge e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Usando a fórmula para soma desde k=1, temos
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k}=\frac{\tfrac{3}{\pi}}{1-\tfrac{3}{\pi}}.
Multiplicando pelo 3 que estava fora, a soma pedida é
3\cdot\frac{\tfrac{3}{\pi}}{1-\tfrac{3}{\pi}}=\frac{9}{\pi}\cdot\frac{1}{\tfrac{\pi-3}{\pi}}.
Simplificando a fração (cancelando \pi no numerador e denominador),
\frac{9}{\pi}\cdot\frac{\pi}{\pi-3}=\frac{9}{\pi-3}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: a soma é positiva e finita, e como \pi-3\approx0{,}14159 temos numericamente
\frac{9}{\pi-3}\approx\frac{9}{0{,}14159}\approx63{,}57,
o que faz sentido dado que os termos iniciais são relativamente grandes (porque \tfrac{3}{\pi} é próximo de 1).

Resposta

\displaystyle \frac{9}{\pi-3}

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