Agora vamos lembrar e demonstrar a fórmula da série geométrica (útil no exame!).
Seja r um número real. A soma parcial dos primeiros n+1 termos da série geométrica começando em k=0 é
S_n=\sum_{k=0}^{n}r^{k}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicando por r e subtraindo obtemos
rS_n=r+r^{2}+\cdots+r^{n}+r^{n+1},
S_n-rS_n=1-r^{n+1},
logo, para r\neq1,
S_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{n\to\infty}r^{n+1}=0 e portanto
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Daí segue imediatamente que, para |r|<1,
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}=\frac{r}{1-r},
pois é a soma inteira menos o termo k=0 igual a 1.
Explicando o que é cada coisa: aqui r é a razão entre termos consecutivos da série geométrica; a condição |r|<1 garante que os termos tendem a zero e a soma converge para um número finito.
Passo 4
No nosso caso identificamos
r=\frac{3}{\pi}.
Verificamos a condição de convergência:
\left|\frac{3}{\pi}\right|=\frac{3}{\pi}<1
porque \pi>3. Numericamente \frac{3}{\pi}\approx0{,}9549, menor que 1, logo a série geométrica converge e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.