Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
h)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Isso significa que devemos estudar o comportamento da sequência de somas parciais
e ver se
converge para um número finito quando
. Se convergir, esse limite é a soma da série; se não convergir, a série diverge.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica do logaritmo natural que é muito útil aqui:
para quaisquer
e
. Vou explicar rapidamente por que isso vale:
é a função inversa de
, e
, logo
.
Aplicando essa propriedade ao termo geral da série, obtemos, para cada
,
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial
usando a igualdade do passo anterior:
Escrevendo alguns primeiros termos fica claro o que acontece:
Perceba que muitos termos se cancelam (telescopagem): o
aparece positivo e negativo, o
também, e assim por diante. Após os cancelamentos sobra apenas
Como
, simplifica para
Passo 4
A soma da série, se existir, é
.
Agora precisamos analisar esse limite. A função é crescente e não tem limite finito quando
; ela cresce sem limite superior. Em termos formais: dado qualquer número grande
, basta escolher
tal que
(por exemplo
) para garantir
. Portanto
Agora precisamos analisar esse limite. A função
Passo 5
Como as somas parciais
tendem para
, a série não converge para um número finito. Dizemos que a série diverge e o seu “valor” é
.