Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
h) \sum_{k=1}^{\infty} \ln \frac{k+1}{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty} \ln\frac{k+1}{k}.
Isso significa que devemos estudar o comportamento da sequência de somas parciais
S_n=\sum_{k=1}^{n} \ln\frac{k+1}{k}
e ver se S_n converge para um número finito quando n\to\infty. Se convergir, esse limite é a soma da série; se não convergir, a série diverge.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica do logaritmo natural que é muito útil aqui:
\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b,
para quaisquer a>0 e b>0. Vou explicar rapidamente por que isso vale: \ln é a função inversa de e^x, e e^{\ln a - \ln b}=e^{\ln a}/e^{\ln b}=a/b, logo \ln(a/b)=\ln a-\ln b.
Aplicando essa propriedade ao termo geral da série, obtemos, para cada k,
\ln\frac{k+1}{k}=\ln(k+1)-\ln k.

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial S_n usando a igualdade do passo anterior:
S_n=\sum_{k=1}^{n}\big(\ln(k+1)-\ln k\big).
Escrevendo alguns primeiros termos fica claro o que acontece:
S_n=(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+(\ln 4-\ln 3)+\cdots+(\ln(n+1)-\ln n).
Perceba que muitos termos se cancelam (telescopagem): o \ln 2 aparece positivo e negativo, o \ln 3 também, e assim por diante. Após os cancelamentos sobra apenas
S_n=\ln(n+1)-\ln 1.
Como \ln 1=0, simplifica para
S_n=\ln(n+1).

Passo 4

A soma da série, se existir, é \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\ln(n+1).
Agora precisamos analisar esse limite. A função \ln x é crescente e não tem limite finito quando x\to\infty; ela cresce sem limite superior. Em termos formais: dado qualquer número grande M>0, basta escolher n tal que n+1>e^{M} (por exemplo n=\lceil e^{M}\rceil) para garantir \ln(n+1)>M. Portanto
\lim_{n\to\infty}\ln(n+1)=+\infty.

Passo 5

Como as somas parciais S_n=\ln(n+1) tendem para +\infty, a série não converge para um número finito. Dizemos que a série diverge e o seu “valor” é +\infty.

Resposta

+\infty

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