Exercício 0.3 Expresse o número como uma razão de inteiros
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para expressar o número
como uma razão de inteiros, ou seja, na forma
com
e
inteiros. O número fornecido é um decimal infinito em que o algarismo
se repete indefinidamente.
Passo 2
Serão apresentados dois métodos: um algébrico e outro utilizando a série geométrica. O método algébrico é mais direto e elementar para este caso, enquanto o método da série geométrica oferece uma verificação alternativa e explica a igualdade no contexto da soma de uma série infinita.
Passo 3
Método algébrico:
Defina a variável
como
.
Multiplique ambos os lados da equação por :
.
Subtraia a primeira equação da segunda: .
A repetição infinita de s se cancela, resultando em
.
Dividindo ambos os lados por , obtemos
.
Portanto, , que pode ser escrito como a razão de inteiros
.
Multiplique ambos os lados da equação por
Subtraia a primeira equação da segunda:
A repetição infinita de
Dividindo ambos os lados por
Portanto,
Explicação didática do passo de subtração: a repetição infinita
em
e em
é idêntica, então ao subtrair as caudas idênticas resta apenas a diferença dos inteiros finitos à esquerda da vírgula.
Passo 4
Método alternativo (série geométrica):
Escreva
como a soma dos termos:
.
Cada termo é vezes uma potência de
, representando uma série geométrica com primeiro termo
e razão
.
A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica é: se então
.
Aplicando a fórmula, temos:
Cada termo é
A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica é: se
Aplicando a fórmula, temos:
Isso confirma o resultado obtido pelo método algébrico.
Passo 5
Comentário sobre a interpretação: A sequência dos somatórios parciais
tem limite
. O número
é esse limite. Qualquer decimal que termina (ex:
) tem uma representação alternativa com infinitos
s à direita (
). A representação decimal não é única em pontos onde há um término exato;
e
representam o mesmo número racional.
Passo 6
Exemplo extra: Demonstre que
. Seja
. Então
. Subtraindo
obtemos
e assim
. Isso mostra que terminar com zeros é equivalente a terminar com uma sequência infinita de
s na representação decimal.