Exercício 0.3 Expresse o número como uma razão de inteiros
a) 0,9999 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número 0,9999\ldots como uma razão de inteiros, ou seja, na forma \dfrac{p}{q} com p e q inteiros. O número fornecido é um decimal infinito em que o algarismo 9 se repete indefinidamente.

Passo 2

Serão apresentados dois métodos: um algébrico e outro utilizando a série geométrica. O método algébrico é mais direto e elementar para este caso, enquanto o método da série geométrica oferece uma verificação alternativa e explica a igualdade no contexto da soma de uma série infinita.

Passo 3

Método algébrico:
Defina a variável x como x = 0,9999\ldots.
Multiplique ambos os lados da equação por 10: 10x = 9,9999\ldots.
Subtraia a primeira equação da segunda: 10x - x = 9,9999\ldots - 0,9999\ldots.
A repetição infinita de 9s se cancela, resultando em 9x = 9.
Dividindo ambos os lados por 9, obtemos x = 1.
Portanto, 0,9999\ldots = 1, que pode ser escrito como a razão de inteiros \dfrac{1}{1}.
Explicação didática do passo de subtração: a repetição infinita \ldots 9999 em 10x e em x é idêntica, então ao subtrair as caudas idênticas resta apenas a diferença dos inteiros finitos à esquerda da vírgula.

Passo 4

Método alternativo (série geométrica):
Escreva 0,9999\ldots como a soma dos termos: 0,9999\ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + \cdots.
Cada termo é 9 vezes uma potência de 10^{-1}, representando uma série geométrica com primeiro termo a = \tfrac{9}{10} e razão r = \tfrac{1}{10}.
A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica é: se |r|<1 então \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
Aplicando a fórmula, temos:
0,9999\ldots = \frac{\tfrac{9}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = \frac{\tfrac{9}{10}}{\tfrac{9}{10}} = 1.
Isso confirma o resultado obtido pelo método algébrico.

Passo 5

Comentário sobre a interpretação: A sequência dos somatórios parciais S_n = 0,9,\;0,99,\;0,999,\;\ldots tem limite 1. O número 0,9999\ldots é esse limite. Qualquer decimal que termina (ex: 0,5) tem uma representação alternativa com infinitos 9s à direita ( 0,4999\ldots = 0,5). A representação decimal não é única em pontos onde há um término exato; 1,000\ldots e 0,9999\ldots representam o mesmo número racional.

Passo 6

Exemplo extra: Demonstre que 0,4999\ldots = \tfrac{1}{2}. Seja y = 0,4999\ldots. Então 10y = 4,9999\ldots. Subtraindo y obtemos 9y = 4,5 e assim y = \tfrac{4,5}{9} = \tfrac{1}{2}. Isso mostra que terminar com zeros é equivalente a terminar com uma sequência infinita de 9s na representação decimal.

Resposta

\dfrac{1}{1}

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