Exercício 1. Calcule as somas duplas:
\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} 2^{i-1} 3^{j+1};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dupla
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}2^{i-1}\,3^{j+1}.
O conteúdo aqui envolve manipular somas duplas e usar séries geométricas, além de fatorar a soma quando um fator depende só de i e o outro só de j.

Passo 2

Como o termo 2^{i-1}3^{j+1} é produto de uma parte que depende apenas de i e outra que depende apenas de j, podemos escrever
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}2^{i-1}3^{j+1} =\Bigl(\sum_{i=1}^{3}2^{i-1}\Bigr)\,\Bigl(\sum_{j=1}^{3}3^{j+1}\Bigr).

Passo 3

Calcular a soma sobre i:
\sum_{i=1}^{3}2^{i-1} =2^0 + 2^1 + 2^2 =1 + 2 + 4 =7.

Passo 4

Calcular a soma sobre j:
\sum_{j=1}^{3}3^{j+1} =3^2 + 3^3 + 3^4 =9 + 27 + 81 =117.

Passo 5

Multiplicando os resultados obtidos:
7 \times 117 = 819.

Resposta

819

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