Exercício 2. Mostre que se um conjunto
é limitado (isto é, existe um
tal que
então existe um retângulo
da forma
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que todo conjunto
limitado (isto é, existe
tal que
)
está contido num retângulo fechado da forma .
Vamos usar a definição de norma em e relacioná-la às coordenadas
e
.
está contido num retângulo fechado da forma
Vamos usar a definição de norma em
Passo 2
Como
, para todo
temos
Daí segue que
Logo todos os pontos de
satisfazem
e
.
Passo 3
Definimos então o retângulo
Pelo que acabamos de ver, qualquer
cumpre
e
, ou seja
. Portanto
Resposta
Basta tomar
,
,
e
, de modo que
contém
.