Exercício 2. Mostre que se um conjunto D é limitado (isto é, existe um R>0 tal que D \subseteq \left.B_{R}(0,0)=\{(x, y):\|(x, y)\| \leq R\}\right) então existe um retângulo \Omega da forma \Omega=[a, b] \times[c, d] tal que D \subset \Omega.

Passo 1

O enunciado pede para provar que todo conjunto D\subset\mathbb{R}^2 limitado (isto é, existe R>0 tal que
D\subseteq B_R(0,0)=\{(x,y)\colon \|(x,y)\|\le R\}
)
está contido num retângulo fechado da forma \Omega=[a,b]\times[c,d].
Vamos usar a definição de norma em \mathbb{R}^2 e relacioná-la às coordenadas x e y.

Passo 2

Como D\subseteq B_R(0,0), para todo (x,y)\in D temos
\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}\le R.
Daí segue que
|x|\le\sqrt{x^2+y^2}\le R \quad\text{e}\quad |y|\le\sqrt{x^2+y^2}\le R.
Logo todos os pontos de D satisfazem -R\le x\le R e -R\le y\le R.

Passo 3

Definimos então o retângulo
\Omega=[-R,R]\times[-R,R].
Pelo que acabamos de ver, qualquer (x,y)\in D cumpre -R\le x\le R e -R\le y\le R, ou seja (x,y)\in\Omega. Portanto D\subset \Omega.

Resposta

Basta tomar a=-R, b=R, c=-R e d=R, de modo que \Omega=[a,b]\times[c,d] contém D.

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