Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\left.a^{-2} b^{3}\right)^{-2}\left(a^{3} b^{-2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \left(a^{-2} b^{3}\right)^{-2}\left(a^{3} b^{-2}\right)^{3}.
Informações dadas: as variáveis envolvidas são a e b. Para que potências com expoentes negativos façam sentido como frações, assumimos que a\neq 0 e b\neq 0.
O objetivo final é escrever a expressão de forma mais simples, preferivelmente sem expoentes negativos.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): se você tem um produto dentro de parênteses elevado a uma potência, a potência se distribui para cada fator. Em símbolos:
(xy)^n = x^n y^n.
Exemplo rápido: (2\cdot 3)^2 = 6^2 = 36 e (2^2)(3^2)=4\cdot9=36. Isso mostra que a regra funciona.

Passo 3

Aplicando essa regra ao primeiro fator \left(a^{-2} b^{3}\right)^{-2}: cada fator dentro dos parênteses tem seu expoente multiplicado pelo expoente externo. Em notação de potência de potência:
\left(x^m\right)^n = x^{m\cdot n}.
Então
\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-2} = \left(a^{-2}\right)^{-2}\left(b^{3}\right)^{-2}.

Passo 4

Agora multiplicamos os expoentes dentro de cada base:
\left(a^{-2}\right)^{-2} = a^{-2\cdot(-2)} = a^{4},
\left(b^{3}\right)^{-2} = b^{3\cdot(-2)} = b^{-6}.
Portanto o primeiro fator simplifica para
\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-2} = a^{4} b^{-6}.

Passo 5

Aplicamos o mesmo raciocínio ao segundo fator \left(a^{3} b^{-2}\right)^{3}. Distribuindo a potência:
\left(a^{3} b^{-2}\right)^{3} = \left(a^{3}\right)^{3}\left(b^{-2}\right)^{3}.

Passo 6

Multiplicando os expoentes:
\left(a^{3}\right)^{3} = a^{3\cdot3} = a^{9},
\left(b^{-2}\right)^{3} = b^{-2\cdot3} = b^{-6}.
Logo o segundo fator vira
\left(a^{3} b^{-2}\right)^{3} = a^{9} b^{-6}.

Passo 7

Agora multiplicamos os dois resultados obtidos:
a^{4} b^{-6}\cdot a^{9} b^{-6}.
Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
x^p \cdot x^q = x^{p+q}.

Passo 8

Aplicando a soma dos expoentes às bases a e b:
a^{4} \cdot a^{9} = a^{4+9} = a^{13},
b^{-6} \cdot b^{-6} = b^{-6 + (-6)} = b^{-12}.
Portanto o produto é
a^{13} b^{-12}.

Passo 9

Explicação sobre expoente negativo (essencial): um expoente negativo significa o inverso da potência positiva correspondente:
x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\quad\text{(para }x\neq0\text{)}.
Aplicando isso a b^{-12} obtemos
a^{13} b^{-12} = \frac{a^{13}}{b^{12}}.

Passo 10

Verificação numérica rápida (para sentir segurança): escolha a=2, b=3. Avaliando a expressão original e a forma final deveríamos obter o mesmo número.
Cálculo mental rápido: a forma final dá \dfrac{2^{13}}{3^{12}}. Não preciso calcular o número inteiro agora; o importante é que os passos algébricos que fizemos preservam a igualdade, então a forma final está correta sob a\neq0, b\neq0.

Resposta

\dfrac{a^{13}}{b^{12}}

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