Exercício 3. Calcule a transformada inversa de Laplace das funções abaixo.
1s(s^2+w^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s,(s^2+w^2). O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar usar duas coisas: tabela de transformadas conhecidas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para começar, fazemos a decomposição em frações parciais de F(s). Assumimos que
1s,(s^2+w^2)=As+B,s+Cs^2+w^2

Passo 3

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por s(s^2+w^2) para achar A,B,C. Isso dá
1=A,(s^2+w^2)+(B,s+C),s

Passo 4

Agora, expandindo e igualando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^2: A+B=0
  • Coeficiente de s: C=0
  • Termo constante: A,w^2=1

Passo 5

Da última equação vem A=1/w^2. Usando A+B=0 temos B=-1/w^2 e já vimos que C=0.

Passo 6

Logo,
F(s)=1/w^2s-(1/w^2),ss^2+w^2

Passo 7

Por fim, aplicamos a transformada inversa usando a tabela:
  • L^-11/s=1
  • L^-1s/(s^2+w^2)=cos(,w,t)

Passo 8

Então a função no tempo é
f(t)=1w^2,l[1-cos(wt)r]

Resposta

f(t)=1w^2l(1-cos(wt)r)

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