Exercício 3. Calcule a transformada inversa de Laplace das funções abaixo.
4s^2-2 s-3

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função F(s)=4s^2-2s-3. O conteúdo principal aqui é transformada inversa de Laplace e decomposição em frações parciais. Para resolver vamos precisar fatorar o denominador, decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o polinômio do denominador, que é uma etapa chave para aplicar frações parciais. Observe que
s^2-2s-3 = (s-3)(s+1)
Agora usamos a teoria de frações parciais: como o numerador tem grau menor que o denominador e os fatores são lineares distintos, podemos escrever
4(s-3)(s+1) = As-3 + Bs+1

Passo 3

Para determinar A e B substituímos valores convenientes de s. Se s=3 temos
4 = A,(3+1) Rightarrow A=1
Se s=-1 temos
4 = B,(-1-3) Rightarrow B=-1
Então
F(s)=1s-3-1s+1

Passo 4

Para a transformada inversa usamos o par conhecido
L^-1ltfrac1s-ar(t)=e^a t

Passo 5

Aplicando isso a cada termo, obtemos
f(t)=e^3t-e^-t

Resposta

f(t)=e^3t-e^-t

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