Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(k) f:[0, infty) R, f(x)=x^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função:
  1. Injetora: Isso significa que cada valor de corresponde a um único valor de .
  2. Sobrejetora: Isso quer dizer que a função consegue “cobrir” todo o conjunto de chegada , ou seja, para cada número real, existe algum que faz igual a esse número.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funções funcionam, especificamente sobre injetividade e sobrejetividade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Analisando se f'(x) = ddx(x^2 - 1) = 2x é injetora:
Uma função é chamada de injetora se nunca atribui o mesmo valor de saída a dois valores de entrada diferentes. Ou seja, se implica que .
Como nossa função é definida somente para , vamos verificar se ela é crescente ou decrescente nesse intervalo. Para isso, vamos calcular a derivada da função.
A derivada de é:
Para , . Isso significa que a função está sempre aumentando nesse intervalo.
Quando uma função está sempre aumentando, cada valor de tem um valor único de , ou seja, a função é injetora.

Passo 3

Analisando se f(0) = 0^2 - 1 = -1 é sobrejetora:
Uma função é chamada de sobrejetora se para todo valor no conjunto de chegada Ima>=m de f = [-1, infty) , existe pelo menos um no domínio tal que é igual a esse valor.
Vamos ver qual é o conjunto imagem da nossa função .
Quando :
À medida que aumenta, aumenta também, pois a função é crescente. Portanto, o menor valor que pode atingir é , e vai indo para .
Isso significa que o conjunto imagem de é:
Agora, para que seja sobrejetora, precisaríamos que a imagem fosse todo . Mas, por exemplo, o número está em mas não está na imagem de , já que .

Resposta

é injetora, pois cada valor de em gera um valor único de . No entanto, não é sobrejetora, já que há números reais, como , que não têm um correspondente em através de .

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