Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(k)
.
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função:
- Injetora: Isso significa que cada valor de
corresponde a um único valor de . - Sobrejetora: Isso quer dizer que a função consegue “cobrir” todo o conjunto de chegada
, ou seja, para cada número real, existe algum que faz igual a esse número.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funções funcionam, especificamente sobre injetividade e sobrejetividade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Analisando se
é injetora:
Uma função é chamada de injetora se nunca atribui o mesmo valor de saída a dois valores de entrada diferentes. Ou seja, se
implica que
.
Como nossa função é
definida somente para
, vamos verificar se ela é crescente ou decrescente nesse intervalo. Para isso, vamos calcular a derivada da função.
A derivada de
é:
Para
,
. Isso significa que a função está sempre aumentando nesse intervalo.
Quando uma função está sempre aumentando, cada valor de
tem um valor único de
, ou seja, a função é injetora.
Passo 3
Analisando se
é sobrejetora:
Uma função é chamada de sobrejetora se para todo valor no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
no domínio
tal que
é igual a esse valor.
Vamos ver qual é o conjunto imagem da nossa função
.
Quando
:
À medida que
aumenta,
aumenta também, pois a função é crescente. Portanto, o menor valor que
pode atingir é
, e vai indo para
.
Isso significa que o conjunto imagem de
é:
Agora, para que
seja sobrejetora, precisaríamos que a imagem fosse todo
. Mas, por exemplo, o número
está em
mas não está na imagem de
, já que
.