Questão 6 (1 ponto)

Seja g(x)=\cos x. Mostre que \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right)

Passo 1

O enunciado dá g(x)=\cos x e pede para mostrar a igualdade
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right).
Informações relevantes: a expressão à esquerda é o quociente de diferenças de g em x e x+h; as variáveis livremente envolvidas são x e h. A resolução começa substituindo g por \cos.

Passo 2

Substituo g por \cos na expressão dada. Assim
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.

Passo 3

Vou usar a fórmula de adição para cosseno. A identidade (fórmula conhecida que vale para todos x e h) é
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h.
Breve explicação desta fórmula: ela descreve como o cosseno de uma soma se separa em produtos de cossenos e senos das parcelas. Aqui \cos x e \operatorname{sen}x dependem só de x, e \cos h e \operatorname{sen}h dependem só de h. Essa identidade é padrão em trigonometria e pode ser verificada geometricamente ou por manipulações com a fórmula de Euler, mas podemos usá-la diretamente.

Passo 4

Substituo a identidade no numerador de \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}. Isso dá
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\frac{\big(\cos x\cos h-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h\big)-\cos x}{h}.

Passo 5

Reagrupo os termos no numerador usando a propriedade distributiva. Primeiro escrevo o numerador como soma (ou diferença) de dois termos:
\big(\cos x\cos h-\cos x\big)-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h.
Agora fatoro \cos x nos dois primeiros termos:
\cos x(\cos h-1)-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h.
Portanto
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\frac{\cos x(\cos h-1)-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h}{h}.

Passo 6

Aplico a propriedade \dfrac{A-B}{h}=\dfrac{A}{h}-\dfrac{B}{h} e uso que \cos x e \operatorname{sen}x são fatores constantes em relação a h, então podem sair das frações:
\frac{\cos x(\cos h-1)-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h}{h} =\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen}x\left(\frac{\operatorname{sen}h}{h}\right).
Isso é exatamente a expressão que queríamos obter.

Resposta

\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right)

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