Questão 6 (1 ponto)
Seja
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá
e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes: a expressão à esquerda é o quociente de diferenças de
em
e
; as variáveis livremente envolvidas são
e
. A resolução começa substituindo
por
.
Passo 2
Substituo
por
na expressão dada. Assim
Passo 3
Vou usar a fórmula de adição para cosseno. A identidade (fórmula conhecida que vale para todos
e
) é
Breve explicação desta fórmula: ela descreve como o cosseno de uma soma se separa em produtos de cossenos e senos das parcelas. Aqui
e
dependem só de
, e
e
dependem só de
. Essa identidade é padrão em trigonometria e pode ser verificada geometricamente ou por manipulações com a fórmula de Euler, mas podemos usá-la diretamente.
Passo 4
Substituo a identidade no numerador de
. Isso dá
Passo 5
Reagrupo os termos no numerador usando a propriedade distributiva. Primeiro escrevo o numerador como soma (ou diferença) de dois termos:
Agora fatoro
nos dois primeiros termos:
Portanto
Passo 6
Aplico a propriedade
e uso que
e
são fatores constantes em relação a
, então podem sair das frações:
Isso é exatamente a expressão que queríamos obter.