Exercício 6. (Extra) Encontre o valor de
tal que a seguinte integral seja finita (calculando a integral):
onde
é a região exterior a bola unitária do
. Justifique todas as afirmações!
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de
tais que a integral
seja finita, e calcular essa integral quando for finita.
Informações dadas e claras: (região exterior à bola unitária). A função integranda é
, que é positiva na região dada. Não há figura faltando: a região é totalmente descrita pelo enunciado.
Informações dadas e claras:
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas esféricas. Justificativa: a integranda depende só da combinação
, ou seja, só do raio
. Quando a integranda tem simetria radial (depende apenas de
), coordenadas esféricas tornam a integral muito simples porque separam a parte radial da angular. Isso reduz o problema a um único integral impróprio em
que podemos analisar com testes de convergência e calcular explicitamente. Outros métodos (por exemplo integrais em coordenadas cartesianas) seriam muito mais complicados.
Passo 3
Definição e mudança de variável: em coordenadas esféricas usamos as variáveis
com as convenções
onde
,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explicação do jacobiano: o fator
vem da determinante da transformação de
para
; intuitivamente, pequenas variações em
geram um paralelepípedo de volume proporcional a
. Aqui vou usar este resultado padrão.
A região
corresponde em esféricas a
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas esféricas: usar que
. Então a integranda fica
. Substituindo em
obtemos a integral tripla
Juntando potências de
:
Passo 5
Separação das integrais angulares e cálculo: a função interna é produto de uma parte que depende só de
e de
que depende só de
, por isso as integrais se separam:
Calcule as partes angulares:
Portanto o fator angular total é
. Assim a integral total reduz-se a
Passo 6
Análise da convergência do integral radial impróprio: precisamos estudar a convergência do integral
Este é um integral impróprio no infinito. Para a integral do tipo
sabemos: converge se, e somente se,
. (Explicação rápida: se
, a primitiva é
e o termo em
tende a zero apenas quando
. Se
dá logaritmo que diverge.) Aqui
. Portanto a condição de convergência é
Resolver essa desigualdade:
Conclusão: a integral radial (e portanto a integral tripla) converge se, e somente se,
. Para
temos
e a integral radial é
, que diverge (logaritmo infinito). Para
temos
e a integral diverge porque a primitiva cresce ou tende a infinito.
Passo 7
Cálculo explícito quando
: então
e podemos calcular a integral radial usando a primitiva:
Como
temos
, logo
quando
. Assim
Multiplicando pelo fator angular
obtemos o valor da integral tripla:
Verificação rápida de sinais: como
temos
, então o resultado é positivo, coerente com a integranda positiva.
Resposta
A integral é finita se, e somente se,
.\n