Exercício 6. (Extra) Encontre o valor de \alpha \in \mathbb{R} tal que a seguinte integral seja finita (calculando a integral):
\iiint_{\mathrm{B}_{1}^{c}} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha}} d \mathrm{~V}
onde \mathrm{B}_{1}^{c}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 1\right\} é a região exterior a bola unitária do \mathbb{R}^{3}. Justifique todas as afirmações!

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de \alpha\in\mathbb{R} tais que a integral
\iiint_{\mathrm{B}_{1}^{c}} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha}} d\mathrm{V}
seja finita, e calcular essa integral quando for finita.
Informações dadas e claras: \mathrm{B}_{1}^{c}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1\} (região exterior à bola unitária). A função integranda é (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-\alpha}, que é positiva na região dada. Não há figura faltando: a região é totalmente descrita pelo enunciado.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas esféricas. Justificativa: a integranda depende só da combinação x^{2}+y^{2}+z^{2}, ou seja, só do raio r. Quando a integranda tem simetria radial (depende apenas de r), coordenadas esféricas tornam a integral muito simples porque separam a parte radial da angular. Isso reduz o problema a um único integral impróprio em r que podemos analisar com testes de convergência e calcular explicitamente. Outros métodos (por exemplo integrais em coordenadas cartesianas) seriam muito mais complicados.

Passo 3

Definição e mudança de variável: em coordenadas esféricas usamos as variáveis (r,\varphi,\theta) com as convenções
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
d\mathrm{V} = r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
Explicação do jacobiano: o fator r^{2}\sin\varphi vem da determinante da transformação de (r,\varphi,\theta) para (x,y,z); intuitivamente, pequenas variações em r,\varphi,\theta geram um paralelepípedo de volume proporcional a r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta. Aqui vou usar este resultado padrão.
A região \mathrm{B}_{1}^{c} corresponde em esféricas a
r\in[1,\infty),\qquad \varphi\in[0,\pi],\qquad \theta\in[0,2\pi).

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas esféricas: usar que x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Então a integranda fica (r^{2})^{-\alpha}=r^{-2\alpha}. Substituindo em d\mathrm{V} obtemos a integral tripla
\iiint_{\mathrm{B}_{1}^{c}} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha}} d\mathrm{V} = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=1}^{\infty} r^{-2\alpha}\, r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
Juntando potências de r:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Separação das integrais angulares e cálculo: a função interna é produto de uma parte que depende só de r e de \sin\varphi que depende só de \varphi, por isso as integrais se separam:
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\, dr\right).
Calcule as partes angulares:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Portanto o fator angular total é 2\pi\cdot 2 = 4\pi. Assim a integral total reduz-se a
4\pi \int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\, dr.

Passo 6

Análise da convergência do integral radial impróprio: precisamos estudar a convergência do integral
\int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\, dr.
Este é um integral impróprio no infinito. Para a integral do tipo \int_{1}^{\infty} r^{k}\, dr sabemos: converge se, e somente se, k<-1. (Explicação rápida: se k\neq -1, a primitiva é r^{k+1}/(k+1) e o termo em \infty tende a zero apenas quando k+1<0. Se k=-1 dá logaritmo que diverge.) Aqui k = 2-2\alpha. Portanto a condição de convergência é
2-2\alpha < -1.
Resolver essa desigualdade:
2-2\alpha < -1 \iff -2\alpha < -3 \iff \alpha > \tfrac{3}{2}.
Conclusão: a integral radial (e portanto a integral tripla) converge se, e somente se, \alpha>\tfrac{3}{2}. Para \alpha=\tfrac{3}{2} temos k=-1 e a integral radial é \int_{1}^{\infty} r^{-1}\, dr, que diverge (logaritmo infinito). Para \alpha<\tfrac{3}{2} temos k\ge -1 e a integral diverge porque a primitiva cresce ou tende a infinito.

Passo 7

Cálculo explícito quando \alpha>\tfrac{3}{2}: então k=2-2\alpha<-1 e podemos calcular a integral radial usando a primitiva:
\int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\, dr = \lim_{R\to\infty} \left[\frac{r^{3-2\alpha}}{3-2\alpha}\right]_{r=1}^{r=R}.
Como \alpha>\tfrac{3}{2} temos 3-2\alpha<0, logo R^{3-2\alpha}\to 0 quando R\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty} r^{2-2\alpha}\, dr = 0 - \frac{1^{3-2\alpha}}{3-2\alpha} = -\frac{1}{3-2\alpha} = \frac{1}{2\alpha-3}.
Multiplicando pelo fator angular 4\pi obtemos o valor da integral tripla:
\iiint_{\mathrm{B}_{1}^{c}} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha}} d\mathrm{V} = \frac{4\pi}{2\alpha-3}, \qquad \text{para } \alpha>\tfrac{3}{2}.
Verificação rápida de sinais: como \alpha>\tfrac{3}{2} temos 2\alpha-3>0, então o resultado é positivo, coerente com a integranda positiva.

Resposta

A integral é finita se, e somente se, \displaystyle \alpha>\tfrac{3}{2}.\n \displaystyle \text{Para }\alpha>\tfrac{3}{2}\text{ o valor da integral é } \displaystyle \frac{4\pi}{2\alpha-3}.é

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