Exercício 2 Calcule (usando integração por partes)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{2}\operatorname{sen}(x).
  • Os limites de integração são 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • Temos uma função polinomial ( x^{2}) multiplicada por uma função trigonométrica ( \operatorname{sen} x).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas; ela diz:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando símbolos:
  • u é uma função escolhida cujo diferencial du é mais simples.
  • dv é a outra parte do integrando, que escolhemos para poder integrar facilmente e obter v (isto é, v=\int dv).
  • du é a diferencial de u (ou seja, du = u'\,dx).
    Estratégia prática: quando há um polinômio multiplicando uma função trigonométrica, escolhemos o polinômio como u porque sua derivada reduz o grau, facilitando iterações da técnica.

Passo 3

Escolhemos para a primeira aplicação:
u = x^{2},\qquad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx.
Calculamos:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = uv - \int v\,du
= -x^{2}\cos(x) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\cdot 2x\,dx
= -x^{2}\cos(x) + 2\int x\cos(x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x\cos(x)\,dx. Aplicamos integração por partes novamente, escolhendo:
u_{1}=x,\qquad dv_{1}=\cos(x)\,dx.
Calculamos:
du_{1}=dx,\qquad v_{1}=\int \cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x).
Aplicando a fórmula:
\int x\cos(x)\,dx = u_{1}v_{1}-\int v_{1}\,du_{1}
= x\operatorname{sen}(x) - \int \operatorname{sen}(x)\,dx
= x\operatorname{sen}(x) - \bigl(-\cos(x)\bigr)
= x\operatorname{sen}(x) + \cos(x).
Voltando para a expressão do passo anterior, multiplicamos por 2:
2\int x\cos(x)\,dx = 2x\operatorname{sen}(x) + 2\cos(x).
Logo uma primitiva da integranda é
F(x) = -x^{2}\cos(x) + 2x\operatorname{sen}(x) + 2\cos(x) + C.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando F(x):
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - F(0).
Calculemos F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right):
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot 0 + 2\cdot \tfrac{\pi}{2}\cdot 1 + 2\cdot 0 = \pi.
Calculemos F(0):
\cos(0)=1,\qquad \operatorname{sen}(0)=0,
F(0) = -0^{2}\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = \pi - 2.

Resposta

\pi - 2

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