Exercício 2 Calcule (usando integração por partes)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Temos uma função polinomial (
) multiplicada por uma função trigonométrica ( ).
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas; ela diz:
Explicando símbolos:
-
é uma função escolhida cujo diferencial é mais simples. -
é a outra parte do integrando, que escolhemos para poder integrar facilmente e obter (isto é, ). -
é a diferencial de (ou seja, ).
Estratégia prática: quando há um polinômio multiplicando uma função trigonométrica, escolhemos o polinômio comoporque sua derivada reduz o grau, facilitando iterações da técnica.
Passo 3
Escolhemos para a primeira aplicação:
Calculamos:
Aplicando integração por partes:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes novamente, escolhendo:
Calculamos:
Aplicando a fórmula:
Voltando para a expressão do passo anterior, multiplicamos por
:
Logo uma primitiva da integranda é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando
:
Calculemos
:
Calculemos
:
Portanto