Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
Isso é uma integral indefinida — precisamos achar uma primitiva (função cuja derivada dá o integrando) e adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Ideia da regra da substituição (explicação didática): quando a integranda tem uma composição de funções
multiplicada por
, é vantajoso fazer a troca
. Formalmente, se fizermos
então
Aqui
é a parte interna da composição e
substitui
de forma que a integral fica mais simples. As variáveis:
é a variável original;
é a nova variável que simplifica a expressão.
Passo 3
Escolha da substituição para esta integral: observar o denominador
. A parte
é uma candidata natural para
. Assim tomo
Explicação rápida: derivando
aparece exatamente um fator
, que se relaciona com o
presente no numerador.
Passo 4
Calcular
e isolar
:
Portanto
Aqui reescrevi
em função de
para poder substituir na integral original.
Passo 5
Fazer a substituição na integral: substituir
por
e
por
. Assim
Expliquei cada passo: o numerador
virou
e o denominador
virou
.
Passo 6
Integrar a potência de
: usar a fórmula
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que ficou fora, obtemos
Passo 7
Voltar à variável
: lembrar que
. Substituindo,
Portanto uma primitiva é
Passo 8
Verificação rápida (derivada da primitiva para checar): derivar
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Força aí — já era!