Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Isso é uma integral indefinida — precisamos achar uma primitiva (função cuja derivada dá o integrando) e adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Ideia da regra da substituição (explicação didática): quando a integranda tem uma composição de funções f(g(x)) multiplicada por g'(x), é vantajoso fazer a troca u=g(x). Formalmente, se fizermos
u=g(x), \qquad du=g'(x)\,dx,
então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui g(x) é a parte interna da composição e g'(x)\,dx substitui dx de forma que a integral fica mais simples. As variáveis: x é a variável original; u é a nova variável que simplifica a expressão.

Passo 3

Escolha da substituição para esta integral: observar o denominador \left(x^{2}+1\right)^{2}. A parte x^{2}+1 é uma candidata natural para u. Assim tomo
u = x^{2}+1.
Explicação rápida: derivando u aparece exatamente um fator 2x\,dx, que se relaciona com o x\,dx presente no numerador.

Passo 4

Calcular du e isolar x\,dx:
du = 2x\,dx.
Portanto
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Aqui reescrevi x\,dx em função de du para poder substituir na integral original.

Passo 5

Fazer a substituição na integral: substituir x\,dx por \tfrac{1}{2}du e \left(x^{2}+1\right) por u. Assim
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Expliquei cada passo: o numerador x\,dx virou \tfrac{1}{2}du e o denominador \left(x^{2}+1\right)^{2} virou u^{2}.

Passo 6

Integrar a potência de u: usar a fórmula
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad\text{(para \(n\neq -1\))}.
Aqui n=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora, obtemos
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right)+C = -\frac{1}{2}u^{-1}+C.

Passo 7

Voltar à variável x: lembrar que u=x^{2}+1. Substituindo,
-\frac{1}{2}u^{-1}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+C.
Portanto uma primitiva é
-\frac{1}{2(x^{2}+1)}+C.

Passo 8

Verificação rápida (derivada da primitiva para checar): derivar -\dfrac{1}{2(x^{2}+1)}
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left((x^{2}+1)^{-1}\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-1)(x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x = \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}},
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Força aí — já era!

Resposta

-\dfrac{1}{2(x^{2}+1)}+C

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