Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e o que precisa ser entregue:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Deve-se calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um
tal que . - O enunciado pede explicitamente para usar a regra da substituição; portanto vou aplicar essa técnica nos termos em que ela é útil (especialmente nos termos com funções compostas como
e ).
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para dividir a integral em três integrais mais simples. A regra é:
Aplicando aqui:
Vou resolver cada uma separadamente e depois somar as primitivas.
Passo 3
Explicando a regra da substituição (a “troca de variável”) de forma prática e intuitiva:
- Se tivermos uma integral da forma
, podemos fazer a mudança . Então e a integral vira , que costuma ser mais simples. - Em palavras: quando aparece uma função composta
multiplicada pela derivada da parte interna , a substituição transforma a integral numa integral direta em . - No nosso caso, termos como
e são funções compostas com parte interna linear ( , ). A substituição ou vai simplificar.
Vou usar essa ideia explicitamente nos termos adequados.
Passo 4
Integral do primeiro termo:
.
Aqui a forma mais direta é usar a regra da potência para integrais: para todo
,
No nosso caso
, então
e
(Se preferir ver por substituição: tomar
dá
e
.)
Passo 5
Integral do segundo termo:
.
Passo a passo com substituição:
- Tirar a constante
para fora: . - Fazer a substituição
. Então , ou seja . - Substituindo na integral:
- Sabendo que
, obtemos
- Voltar para
: dá
Explicação intuitiva: a derivada de
é
; ao integrar queremos “compensar” esse fator
, por isso aparece o divisor
no coeficiente.
Passo 6
Integral do terceiro termo:
.
Usando substituição:
- Fazer
. Então , ou . - Substituindo:
- Sabendo que
, obtemos
- Voltando a
: dá
Comentário: isso é o “caso padrão” da regra da cadeia invertida para funções trigonométricas. A derivada de
é
, e o fator
corrige isso.
Passo 7
Somar as primitivas das três parcelas (lembre que podemos juntar as constantes de integração em uma única constante
):
Da Passo 4:
.
Da Passo 5:
.
Da Passo 6:
.
Portanto uma primitiva da função completa é
Passo 8
Cheque rápido (dá segurança na hora da prova): derivar
deve recuperar o integrando.
-
. -
. -
.
Somando dá exatamente, como desejado.