Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int\left(x+3 e^{5 x}+\cos (2 x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(x+3e^{5x}+\cos(2x)\bigr)\,dx.
Informações dadas e o que precisa ser entregue:
  • A função a integrar é a soma de três termos: x, 3e^{5x} e \cos(2x).
  • Deve-se calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um F(x) tal que F'(x)=x+3e^{5x}+\cos(2x).
  • O enunciado pede explicitamente para usar a regra da substituição; portanto vou aplicar essa técnica nos termos em que ela é útil (especialmente nos termos com funções compostas como e^{5x} e \cos(2x)).

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para dividir a integral em três integrais mais simples. A regra é:
\int\bigl(f(x)+g(x)+h(x)\bigr)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int\bigl(x+3e^{5x}+\cos(2x)\bigr)\,dx = \int x\,dx + \int 3e^{5x}\,dx + \int \cos(2x)\,dx.
Vou resolver cada uma separadamente e depois somar as primitivas.

Passo 3

Explicando a regra da substituição (a “troca de variável”) de forma prática e intuitiva:
  • Se tivermos uma integral da forma \int f(g(x))g'(x)\,dx, podemos fazer a mudança u=g(x). Então du=g'(x)\,dx e a integral vira \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples.
  • Em palavras: quando aparece uma função composta f(g(x)) multiplicada pela derivada da parte interna g'(x), a substituição transforma a integral numa integral direta em u.
  • No nosso caso, termos como e^{5x} e \cos(2x) são funções compostas com parte interna linear ( 5x, 2x). A substituição u=5x ou u=2x vai simplificar.
Vou usar essa ideia explicitamente nos termos adequados.

Passo 4

Integral do primeiro termo: \int x\,dx.
Aqui a forma mais direta é usar a regra da potência para integrais: para todo n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso x = x^1, então n=1 e
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C.
(Se preferir ver por substituição: tomar u=x du=dx e \int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{x^2}{2}+C.)

Passo 5

Integral do segundo termo: \int 3e^{5x}\,dx.
Passo a passo com substituição:
  1. Tirar a constante 3 para fora: \int 3e^{5x}\,dx = 3\int e^{5x}\,dx.
  2. Fazer a substituição \;u=5x. Então \;du=5\,dx, ou seja \;dx=\dfrac{du}{5}.
  3. Substituindo na integral:
3\int e^{5x}\,dx = 3\int e^{u}\cdot\frac{du}{5} = \frac{3}{5}\int e^{u}\,du.
  1. Sabendo que \int e^{u}\,du=e^{u}+C, obtemos
\frac{3}{5}\int e^{u}\,du = \frac{3}{5}e^{u}+C.
  1. Voltar para x: u=5x
\int 3e^{5x}\,dx = \frac{3}{5}e^{5x}+C.
Explicação intuitiva: a derivada de e^{5x} é 5e^{5x}; ao integrar queremos “compensar” esse fator 5, por isso aparece o divisor 5 no coeficiente.

Passo 6

Integral do terceiro termo: \int \cos(2x)\,dx.
Usando substituição:
  1. Fazer \;u=2x. Então \;du=2\,dx, ou \;dx=\dfrac{du}{2}.
  2. Substituindo:
\int \cos(2x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.
  1. Sabendo que \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C, obtemos
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u)+C.
  1. Voltando a x: u=2x
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)+C.
Comentário: isso é o “caso padrão” da regra da cadeia invertida para funções trigonométricas. A derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), e o fator 1/2 corrige isso.

Passo 7

Somar as primitivas das três parcelas (lembre que podemos juntar as constantes de integração em uma única constante C):
Da Passo 4: \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}.
Da Passo 5: \int 3e^{5x}\,dx = \dfrac{3}{5}e^{5x}.
Da Passo 6: \int \cos(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\sin(2x).
Portanto uma primitiva da função completa é
F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{5}e^{5x}+\frac{1}{2}\sin(2x)+C.

Passo 8

Cheque rápido (dá segurança na hora da prova): derivar F(x) deve recuperar o integrando.
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=x.
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{3}{5}e^{5x}\right)=\dfrac{3}{5}\cdot 5 e^{5x}=3e^{5x}.
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x).
    Somando dá exatamente x+3e^{5x}+\cos(2x), como desejado.

Resposta

\frac{x^2}{2}+\frac{3}{5}e^{5x}+\frac{1}{2}\sin(2x)+C

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