[3] (3,0 pontos) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^{2}=10 x+4 e y^{2}= -2 x+9. Use integrais múltiplas.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região do plano limitada pelas parábolas y^{2}=10x+4 e y^{2}=-2x+9.
Informações dadas:
  • Curva 1: y^{2}=10x+4.
  • Curva 2: y^{2}=-2x+9.
    O que será necessário obter: os pontos de interseção das duas parábolas e depois integrar sobre a região limitada por elas para obter a área.

Passo 2

Primeiro, é mais prático tratar as equações isolando x em função de y, porque a região é mais fácil de descrever como fatias verticais (integrando em x para cada y). Faço isso explicitamente:
y^{2}=10x+4 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y^{2}-4}{10}.
y^{2}=-2x+9 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{9-y^{2}}{2}.
Explicando a ideia: para cada valor de y entre os pontos de interseção, a região limitada tem x variando da curva mais à esquerda até a curva mais à direita. A área da região D pode ser escrita como integral dupla
\text{Área}(D)=\iint_{D} dA=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\!\int_{x_{\text{esq}}(y)}^{x_{\text{dir}}(y)} dx\,dy.Á
Aqui x_{\text{esq}}(y) e x_{\text{dir}}(y) são as expressões que acabamos de obter, dependendo de qual parabola fica à esquerda ou à direita.

Passo 3

Agora encontro os pontos de interseção: igualo as duas expressões em y^{2} (ou igualo as duas expressões para x):
10x+4=-2x+9 \quad\Longrightarrow\quad 12x=5 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5}{12}.
Substituo esse x em qualquer das equações para achar y^{2}. Uso y^{2}=10x+4:
y^{2}=10\cdot\frac{5}{12}+4=\frac{50}{12}+4=\frac{25}{6}+\frac{24}{6}=\frac{49}{6}.
Logo os pontos de interseção são
\left(\frac{5}{12},\,\pm\sqrt{\frac{49}{6}}\right)=\left(\frac{5}{12},\,\pm\frac{7\sqrt{6}}{6}\right).
Defino a=\frac{7\sqrt{6}}{6} para simplificar a notação; então os limites em y são y\in[-a,a].

Passo 4

Determino qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para y entre -a e a. Subtraio as expressões de x:
x_{\text{dir}}(y)-x_{\text{esq}}(y)=\frac{9-y^{2}}{2}-\frac{y^{2}-4}{10}.
Faço a combinação com denominador 10:
\frac{9-y^{2}}{2}=\frac{5(9-y^{2})}{10}=\frac{45-5y^{2}}{10},
portanto
x_{\text{dir}}-x_{\text{esq}}=\frac{45-5y^{2}-(y^{2}-4)}{10}=\frac{49-6y^{2}}{10}.
No ponto de interseção y^{2}=49/6 isso vale zero; para valores de y com y^{2}<49/6 o numerador é positivo, então a expressão \dfrac{9-y^{2}}{2} é a curva da direita e \dfrac{y^{2}-4}{10} é a da esquerda. Assim podemos escrever a área como
\text{Área}=\int_{-a}^{a}\left(\frac{9-y^{2}}{2}-\frac{y^{2}-4}{10}\right)dy =\int_{-a}^{a}\frac{49-6y^{2}}{10}\,dy.Á
Também é útil observar simetria: a função integranda \frac{49-6y^{2}}{10} é par (dependente de y^{2}), então
\text{Área}=2\int_{0}^{a}\frac{49-6y^{2}}{10}\,dy=\frac{1}{5}\int_{0}^{a}\bigl(49-6y^{2}\bigr)\,dy.Á

Passo 5

Calculo a integral passo a passo. Primeiro a primitiva de 49-6y^{2} em y é 49y-2y^{3} (porque \int 6y^{2}dy=2y^{3}). Assim
\text{Área}=\frac{1}{5}\left[49y-2y^{3}\right]_{0}^{a}=\frac{1}{5}\bigl(49a-2a^{3}\bigr).Á
Agora substituo a=\dfrac{7\sqrt{6}}{6}. Calculo termos separadamente:
49a=49\cdot\frac{7\sqrt{6}}{6}=\frac{343\sqrt{6}}{6}.
E
a^{3}=\left(\frac{7\sqrt{6}}{6}\right)^{3}=\frac{343\cdot(\sqrt{6})^{3}}{216} =\frac{343\cdot 6\sqrt{6}}{216}=\frac{343}{36}\sqrt{6}.
Então
2a^{3}=2\cdot\frac{343}{36}\sqrt{6}=\frac{343}{18}\sqrt{6}.
Agora faço 49a-2a^{3} com denominador comum 18:
49a-2a^{3}=\frac{343\sqrt{6}}{6}-\frac{343\sqrt{6}}{18} =\left(\frac{343\cdot 3}{18}-\frac{343}{18}\right)\sqrt{6} =\frac{343\cdot 2}{18}\sqrt{6}=\frac{343}{9}\sqrt{6}.
Finalmente
\text{Área}=\frac{1}{5}\cdot\frac{343}{9}\sqrt{6}=\frac{343}{45}\sqrt{6}.Á
Para referência rápida, em valor decimal aproximado isso vale aproximadamente
\frac{343\sqrt{6}}{45}\approx\frac{343\cdot 2{,}4494897}{45}\approx\frac{840{,}4}{45}\approx18{,}676.

Resposta

\displaystyle \frac{343\sqrt{6}}{45}

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