[3] (3,0 pontos) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas
e
. Use integrais múltiplas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região do plano limitada pelas parábolas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
.
O que será necessário obter: os pontos de interseção das duas parábolas e depois integrar sobre a região limitada por elas para obter a área.
Passo 2
Primeiro, é mais prático tratar as equações isolando
em função de
, porque a região é mais fácil de descrever como fatias verticais (integrando em
para cada
). Faço isso explicitamente:
Explicando a ideia: para cada valor de
entre os pontos de interseção, a região limitada tem
variando da curva mais à esquerda até a curva mais à direita. A área da região
pode ser escrita como integral dupla
Aqui
e
são as expressões que acabamos de obter, dependendo de qual parabola fica à esquerda ou à direita.
Passo 3
Agora encontro os pontos de interseção: igualo as duas expressões em
(ou igualo as duas expressões para
):
Substituo esse
em qualquer das equações para achar
. Uso
:
Logo os pontos de interseção são
Defino
para simplificar a notação; então os limites em
são
.
Passo 4
Determino qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para
entre
e
. Subtraio as expressões de
:
Faço a combinação com denominador
:
portanto
No ponto de interseção
isso vale zero; para valores de
com
o numerador é positivo, então a expressão
é a curva da direita e
é a da esquerda. Assim podemos escrever a área como
Também é útil observar simetria: a função integranda
é par (dependente de
), então
Passo 5
Calculo a integral passo a passo. Primeiro a primitiva de
em
é
(porque
). Assim
Agora substituo
. Calculo termos separadamente:
E
Então
Agora faço
com denominador comum
:
Finalmente
Para referência rápida, em valor decimal aproximado isso vale aproximadamente