Exercício 0.6 Simplifique as expressões abaixo
3^{-\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{5}} 3^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
3^{-\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{5}} 3^{\frac{1}{2}}.
Informações dadas: são três potências com a mesma base 3, cujos expoentes são -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5} e \tfrac{1}{2}. A tarefa é reduzir essa expressão a uma forma mais simples (uma única potência ou uma raiz).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes. Em símbolos:
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
onde a é a base (aqui a=3) e m,n são os expoentes. Exemplo concreto para fixar: 2^{3}\cdot 2^{4}=2^{3+4}=2^{7} porque multiplicar potências iguais é juntar fatores iguais.

Passo 3

Aplicando a regra às três potências de base 3, basta somar os três expoentes. Escrevemos o expoente total como
-\frac{1}{3} + \Big(-\frac{1}{5}\Big) + \frac{1}{2}.

Passo 4

Vamos somar essas frações. Primeiro escolhemos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 3,5,2, que é 30. Convertendo cada fração para denominador 30:
-\frac{1}{3}=-\frac{10}{30},\qquad -\frac{1}{5}=-\frac{6}{30},\qquad \frac{1}{2}=\frac{15}{30}.
Agora somamos os numeradores:
-\!10 + (-6) + 15 = -10 -6 +15 = -1.
Portanto a soma das frações é
-\frac{1}{30}.

Passo 5

Interpretação do resultado: o expoente total da potência de base 3 é -\tfrac{1}{30}. Lembretes úteis que usamos para reescrever formas equivalentes:
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}\quad\text{(expoente negativo)},
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad\text{(expoente fracionário corresponde a raiz \(n\)-ésima)}.áé
Exemplos rápidos: 2^{-1}=\tfrac{1}{2} e 9^{1/2}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: a expressão original combina-se numa única potência de base 3 com expoente -\tfrac{1}{30}. Usando as definições acima, podemos também escrever essa potência como uma raiz (forma sem expoente negativo).

Resposta

3^{-\frac{1}{30}}
\dfrac{1}{\sqrt[30]{3}}

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