Exercício 0.3 Se a e b são números reais, então em que condições
?
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números reais e pede: em que condições vale
Informações relevantes: temos apenas a igualdade acima envolvendo
e
. A pergunta é identificar todas as condições (valores ou relações entre
e
) que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar uma identidade algébrica básica que vamos usar: para quaisquer números reais
e
,
O que isso significa? Ao elevar a soma ao quadrado, obtemos a soma dos quadrados dos termos mais duas vezes o produto deles. Aqui cada símbolo representa:
-
e : números quaisquer; -
: o quadrado de (ou seja, ); -
: duas vezes o produto .
Essa identidade vem de multiplicar
e recolher termos iguais.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
, obtemos
Substituímos isso na igualdade do enunciado:
Passo 4
Agora simplificamos a igualdade subtraindo
de ambos os lados (explico: se
, então
para qualquer
; aqui escolhemos
):
Ao cancelar
e
, sobra
Passo 5
Da igualdade
dividimos por
(explico:
é diferente de zero, então podemos dividir sem alterar as soluções), obtendo
Agora usamos uma propriedade fundamental dos números reais: a propriedade do produto nulo — se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja,
implica que
ou
(ou ambos).
Passo 6
Conclusão e exemplos práticos:
- Se
e qualquer, então porque . - Se
e qualquer, então . - Se ambos são zero,
e , a igualdade também vale (caso particular já coberto).
Não existe outra possibilidade: se ambos fossem não nulos,e seria maior que por causa do termo .