Exercício 0.3 Se a e b são números reais, então em que condições (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números reais e pede: em que condições vale
(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\\ ?
Informações relevantes: temos apenas a igualdade acima envolvendo a e b. A pergunta é identificar todas as condições (valores ou relações entre a e b) que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar uma identidade algébrica básica que vamos usar: para quaisquer números reais x e y,
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
O que isso significa? Ao elevar a soma ao quadrado, obtemos a soma dos quadrados dos termos mais duas vezes o produto deles. Aqui cada símbolo representa:
  • x e y: números quaisquer;
  • x^2: o quadrado de x (ou seja, x\cdot x);
  • 2xy: duas vezes o produto x\cdot y.
Essa identidade vem de multiplicar (x+y)(x+y) e recolher termos iguais.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso com x=a e y=b, obtemos
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Substituímos isso na igualdade do enunciado:
a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2.

Passo 4

Agora simplificamos a igualdade subtraindo a^2 + b^2 de ambos os lados (explico: se X=Y, então X-Z=Y-Z para qualquer Z; aqui escolhemos Z=a^2+b^2):
(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2) = 0.
Ao cancelar a^2 e b^2, sobra
2ab = 0.

Passo 5

Da igualdade \;2ab=0\; dividimos por 2 (explico: 2 é diferente de zero, então podemos dividir sem alterar as soluções), obtendo
ab = 0.
Agora usamos uma propriedade fundamental dos números reais: a propriedade do produto nulo — se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, ab=0 implica que a=0 ou b=0 (ou ambos).

Passo 6

Conclusão e exemplos práticos:
  • Se a=0 e b qualquer, então (a+b)^2 = b^2 = a^2 + b^2 porque a^2=0.
  • Se b=0 e a qualquer, então (a+b)^2 = a^2 = a^2 + b^2.
  • Se ambos são zero, a=0 e b=0, a igualdade também vale (caso particular já coberto).
    Não existe outra possibilidade: se ambos fossem não nulos, ab\neq0 e (a+b)^2 seria maior que a^2+b^2 por causa do termo 2ab.

Resposta

\;ab=0, ou seja, \;a=0 ou \;b=0.

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