Exercício 5. Calcule o valor de
\operatorname{cotg}\left(\frac{17 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor de \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{17\pi}{6}\right).
Informação dada: o ângulo é \dfrac{17\pi}{6}. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar. A função cotangente pode ser definida em termos de seno e cosseno:
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Aqui \cos x é o cosseno de x e \sin x é o seno de x. Quando usar essa definição na prova, cuide para que \sin x \neq 0 (caso contrário a cotangente não está definida).

Passo 3

Propriedade de periodicidade (mini-aula). A cotangente é periódica de período \pi; isto é,
\operatorname{cotg}(x+\pi)=\operatorname{cotg} x\quad\text{para todo }x.
Demonstração curta: usando \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e as identidades \cos(x+\pi)=-\cos x, \sin(x+\pi)=-\sin x, tem-se
\operatorname{cotg}(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{cotg} x.
Essa propriedade serve para reduzir ângulos grandes somando ou subtraindo múltiplos de \pi.

Passo 4

Redução do ângulo \dfrac{17\pi}{6} usando a periodicidade. Subtrai-se 2\pi (que é um múltiplo de \pi) para obter um ângulo no intervalo mais simples:
\frac{17\pi}{6}-2\pi=\frac{17\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.
Como \operatorname{cotg} tem período \pi (e portanto também período 2\pi), vale
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{17\pi}{6}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right).

Passo 5

Avaliar seno e cosseno de \dfrac{5\pi}{6} (mini-aula sobre ângulo referência). O ângulo \dfrac{5\pi}{6} está no segundo quadrante e é simétrico a \dfrac{\pi}{6} em relação ao eixo vertical. As relações fundamentais para \dfrac{\pi}{6} são
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
No segundo quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo, e como \dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6} temos
\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Calcular a cotangente como razão \cos/\sin. Usando os valores do passo anterior,
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)} =\frac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =-\sqrt{3}.
A simplificação ocorre porque dividir por \dfrac{1}{2} é multiplicar por 2: -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=-\sqrt{3}.

Resposta

-\sqrt{3}

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