Exercício 5. Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o valor de
.
Informação dada: o ângulo é . Não há outras informações no enunciado.
Informação dada: o ângulo é
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar. A função cotangente pode ser definida em termos de seno e cosseno:
Aqui
é o cosseno de
e
é o seno de
. Quando usar essa definição na prova, cuide para que
(caso contrário a cotangente não está definida).
Passo 3
Propriedade de periodicidade (mini-aula). A cotangente é periódica de período
; isto é,
Demonstração curta: usando
e as identidades
,
, tem-se
Essa propriedade serve para reduzir ângulos grandes somando ou subtraindo múltiplos de
.
Passo 4
Redução do ângulo
usando a periodicidade. Subtrai-se
(que é um múltiplo de
) para obter um ângulo no intervalo mais simples:
Como
tem período
(e portanto também período
), vale
Passo 5
Avaliar seno e cosseno de
(mini-aula sobre ângulo referência). O ângulo
está no segundo quadrante e é simétrico a
em relação ao eixo vertical. As relações fundamentais para
são
No segundo quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo, e como
temos
Passo 6
Calcular a cotangente como razão
. Usando os valores do passo anterior,
A simplificação ocorre porque dividir por
é multiplicar por
:
.