Exercício 5. Calcule o valor de
\operatorname{sec} \left(-\frac{13 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \operatorname{sec}\left(-\dfrac{13\pi}{4}\right). Essa é a única informação dada; queremos encontrar um número real correspondente a essa expressão.

Passo 2

Primeira coisa útil: lembrar a definição da secante e uma propriedade da função cosseno.
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
A função cosseno é par, ou seja,
\cos(-\theta)=\cos\theta\quad\text{para todo }\theta.
A partir disso, podemos deduzir que a secante também é par (desde que o cosseno não seja zero):
\operatorname{sec}(-\theta)=\frac{1}{\cos(-\theta)}=\frac{1}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Aplicando a paridade da secante ao nosso ângulo,
\operatorname{sec}\left(-\frac{13\pi}{4}\right)=\operatorname{sec}\left(\frac{13\pi}{4}\right).

Passo 4

Agora usamos a periodicidade do cosseno (e, portanto, da secante): \cos tem período 2\pi, então podemos subtrair múltiplos inteiros de 2\pi para reduzir o ângulo. Note que
2\pi = \frac{8\pi}{4},
então subtraindo 2\pi de \dfrac{13\pi}{4} obtemos
\frac{13\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Logo,
\operatorname{sec}\left(\frac{13\pi}{4}\right)=\operatorname{sec}\left(\frac{5\pi}{4}\right).

Passo 5

Determinar \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right). O ângulo \dfrac{5\pi}{4} corresponde a 225^\circ, que está no quadrante III, onde o cosseno é negativo. O ângulo de referência é \dfrac{\pi}{4}, e sabemos que
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Finalmente, calculamos a secante como o inverso do cosseno:
\operatorname{sec}\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.

Resposta

-\sqrt{2}

Exercícios relacionados