Exercício 6. Simplifique as expressões, sempre lembrando de assumir que os denominadores são não nulos.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações e condições fornecidas (assumir denominadores não nulos):
- Os denominadores originais indicam que devemos ter
e . - Portanto, todas as manipulações abaixo valem quando
e . - A tarefa é transformar a soma em uma forma mais simples e compacta.
Passo 2
Primeiro lembramos o que significam as funções recíprocas que aparecem:
-
significa o recíproco do cosseno, ou seja . -
é a notação para cosecante (também escrita ), o recíproco do seno, ou seja .
Isto é importante porque simplificar passa por trocar as funções recíprocas por frações em
e
.
Passo 3
Reescrevendo cada termo usando as definições recíprocas:
Ao dividir por
multiplicamos pelo recíproco, então
Passo 4
Agora o segundo termo:
Aplicando a mesma ideia,
Passo 5
Somando os dois resultados, ambos são iguais a
, logo
Essa já é uma forma mais simples e explícita.
Passo 6
Podemos escrever essa forma de maneiras equivalentes que às vezes são úteis:
- Usando fun\c{c}~oes rec’ipricas:
, porque e . - Usando a identidade de ângulo duplo
, obtemos também . (Esta última forma requer .)