Exercício 6. Simplifique as expressões, sempre lembrando de assumir que os denominadores são não nulos.
\frac{\operatorname{cossec}(x)}{\cos (x)}+\frac{\operatorname{sec} (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\operatorname{cossec}(x)}{\cos(x)}+\frac{\operatorname{sec}(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Informações e condições fornecidas (assumir denominadores não nulos):
  • Os denominadores originais indicam que devemos ter \cos(x)\neq0 e \sin(x)\neq0.
  • Portanto, todas as manipulações abaixo valem quando \sin(x)\neq0 e \cos(x)\neq0.
  • A tarefa é transformar a soma em uma forma mais simples e compacta.

Passo 2

Primeiro lembramos o que significam as funções recíprocas que aparecem:
  • \operatorname{sec}(x) significa o recíproco do cosseno, ou seja \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}.
  • \operatorname{cossec}(x) é a notação para cosecante (também escrita \csc(x)), o recíproco do seno, ou seja \operatorname{cossec}(x)=\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}.
Isto é importante porque simplificar passa por trocar as funções recíprocas por frações em \sin e \cos.

Passo 3

Reescrevendo cada termo usando as definições recíprocas:
\frac{\operatorname{cossec}(x)}{\cos(x)}=\frac{\dfrac{1}{\sin(x)}}{\cos(x)}.
Ao dividir por \cos(x) multiplicamos pelo recíproco, então
\frac{\dfrac{1}{\sin(x)}}{\cos(x)}=\frac{1}{\sin(x)}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}.

Passo 4

Agora o segundo termo:
\frac{\operatorname{sec}(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\frac{\dfrac{1}{\cos(x)}}{\sin(x)}.
Aplicando a mesma ideia,
\frac{\dfrac{1}{\cos(x)}}{\sin(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}.

Passo 5

Somando os dois resultados, ambos são iguais a \dfrac{1}{\sin(x)\cos(x)}, logo
\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}+\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}=\frac{2}{\sin(x)\cos(x)}.
Essa já é uma forma mais simples e explícita.

Passo 6

Podemos escrever essa forma de maneiras equivalentes que às vezes são úteis:
  • Usando fun\c{c}~oes rec’ipricas: \dfrac{2}{\sin(x)\cos(x)}=2\csc(x)\operatorname{sec}(x), porque \csc(x)=1/\sin(x) e \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x).
  • Usando a identidade de ângulo duplo \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), obtemos também \dfrac{2}{\sin(x)\cos(x)}=\dfrac{4}{\sin(2x)}. (Esta última forma requer \sin(2x)\neq0.)

Resposta

\dfrac{2}{\sin(x)\cos(x)}=2\csc(x)\operatorname{sec}(x)

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