Exercício 5. Calcule o valor de
\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{6}\right).
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
  • O ângulo dado é -\dfrac{\pi}{6} (em radianos).
  • Lembrar que \pi radianos equivalem a 180^\circ, portanto -\dfrac{\pi}{6} = -30^\circ.

Passo 2

O que significa \operatorname{sen}(\theta) de forma geométrica (definição que vou usar).
No círculo trigonométrico (raio 1), para um ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário, o ponto correspondente tem coordenadas (\cos\theta,\;\sin\theta). Assim:
  • \sin\theta é a coordenada y do ponto da circunferência unitária que corresponde ao ângulo \theta.
    No caso de ângulos negativos, a medida é feita no sentido horário (para baixo), então o ponto para -\theta é a reflexão do ponto de \theta em relação ao eixo x.

Passo 3

Propriedade de paridade (simetria) da função seno, explicada de maneira simples.
Pelo argumento do círculo unitário, o ponto para \theta é (\cos\theta,\sin\theta) e o ponto para -\theta é (\cos\theta,-\sin\theta) (mesma abscissa, ordenada com sinal trocado). Daí segue a propriedade
\sin(-\theta) = -\sin(\theta).
Isto diz que seno é uma função ímpar: ao trocar o sinal do ângulo, o seno troca de sinal.

Passo 4

Calcular \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) (valor do seno para 30^\circ), explicando por que é \dfrac{1}{2}.
Um modo intuitivo e clássico: considere um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se um triângulo retângulo com ângulos 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ. Nesse triângulo retângulo:
  • a hipotenusa vale 2 (lado do equilátero),
  • o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ vale 1,
  • o cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ vale \sqrt{3}.
    Pelo seno definido no triângulo retângulo,
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin(30^\circ)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplicar a propriedade de paridade da Passo 3 ao nosso ângulo negativo. Usando \sin(-\theta)=-\sin(\theta) com \theta=\dfrac{\pi}{6},
\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
Substituindo o valor encontrado na Passo 4,
\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

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