Exercício 5. Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
- O ângulo dado é
(em radianos). - Lembrar que
radianos equivalem a , portanto .
Passo 2
O que significa
de forma geométrica (definição que vou usar).
No círculo trigonométrico (raio ), para um ângulo
medido a partir do eixo positivo
no sentido anti-horário, o ponto correspondente tem coordenadas
. Assim:
No círculo trigonométrico (raio
-
é a coordenada do ponto da circunferência unitária que corresponde ao ângulo .
No caso de ângulos negativos, a medida é feita no sentido horário (para baixo), então o ponto paraé a reflexão do ponto de em relação ao eixo .
Passo 3
Propriedade de paridade (simetria) da função seno, explicada de maneira simples.
Pelo argumento do círculo unitário, o ponto para é
e o ponto para
é
(mesma abscissa, ordenada com sinal trocado). Daí segue a propriedade
Pelo argumento do círculo unitário, o ponto para
Isto diz que seno é uma função ímpar: ao trocar o sinal do ângulo, o seno troca de sinal.
Passo 4
Calcular
(valor do seno para
), explicando por que é
.
Um modo intuitivo e clássico: considere um triângulo equilátero de lado . Ao traçar a altura, obtém-se um triângulo retângulo com ângulos
,
e
. Nesse triângulo retângulo:
Um modo intuitivo e clássico: considere um triângulo equilátero de lado
- a hipotenusa vale
(lado do equilátero), - o cateto oposto ao ângulo de
vale , - o cateto adjacente ao ângulo de
vale .
Pelo seno definido no triângulo retângulo,
Passo 5
Agora aplicar a propriedade de paridade da Passo 3 ao nosso ângulo negativo. Usando
com
,
Substituindo o valor encontrado na Passo 4,