Exercício 4. Sabendo que \operatorname{tg}(x)=\frac{\sqrt{2}}{4} e que 0<x<90^{\circ}, determine \operatorname{cossec}(x) usando as identidades trigonométricas.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.
  • Informação adicional: 0<x<90^{\circ} (ou seja, x é um ângulo agudo).
  • Pedido: determinar \operatorname{cossec}(x).

Passo 2

Vamos lembrar o que significam essas funções trigonométricas no contexto de um triângulo retângulo com um ângulo agudo x.
  • A tangente de x é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
\operatorname{tg}(x)=\tan(x)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
  • A cossecante de x é o recíproco do seno:
\operatorname{cossec}(x)=\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto}}.
Aqui: “cateto oposto” é o lado do triângulo fronteiro a x, “cateto adjacente” é o lado ao lado de x (mas não a hipotenusa), e “hipotenusa” é o maior lado do triângulo.

Passo 3

A partir de \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{4} é natural escolher um triângulo retângulo em que:
  • cateto oposto = \sqrt{2},
  • cateto adjacente = 4.
    (Se quiser, poderia multiplicar esses valores por qualquer fator comum; a razão se mantém. Escolhemos esses valores simples para não complicar contas.)

Passo 4

Calcular a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
\text{hipotenusa} = \sqrt{(\text{cateto oposto})^{2}+(\text{cateto adjacente})^{2}}.
Substituindo os números escolhidos:
\text{hipotenusa} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + 4^{2}} = \sqrt{2 + 16} = \sqrt{18}.
Simplificando \sqrt{18}:
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.

Passo 5

Agora calculamos \sin(x) e então \csc(x).
  • O seno é:
\sin(x)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}.
  • Simplificando a fração (corta \sqrt{2}):
\sin(x)=\frac{1}{3}.
  • Logo a cossecante, sendo o recíproco do seno, é
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{1/3}=3.

Passo 6

Verificação de sinal: como 0<x<90^{\circ}, estamos no primeiro quadrante, onde seno (e portanto cossecante) é positivo. O valor 3 é compatível com isso.

Resposta

3

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