Exercício 4. Sabendo que
e que
, determine
usando as identidades trigonométricas.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado:
. - Informação adicional:
(ou seja, é um ângulo agudo). - Pedido: determinar
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam essas funções trigonométricas no contexto de um triângulo retângulo com um ângulo agudo
.
- A tangente de
é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
- A cossecante de
é o recíproco do seno:
Aqui: “cateto oposto” é o lado do triângulo fronteiro a
, “cateto adjacente” é o lado ao lado de
(mas não a hipotenusa), e “hipotenusa” é o maior lado do triângulo.
Passo 3
A partir de
é natural escolher um triângulo retângulo em que:
- cateto oposto
, - cateto adjacente
.
(Se quiser, poderia multiplicar esses valores por qualquer fator comum; a razão se mantém. Escolhemos esses valores simples para não complicar contas.)
Passo 4
Calcular a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os números escolhidos:
Simplificando
:
Passo 5
Agora calculamos
e então
.
- O seno é:
- Simplificando a fração (corta
):
- Logo a cossecante, sendo o recíproco do seno, é
Passo 6
Verificação de sinal: como
, estamos no primeiro quadrante, onde seno (e portanto cossecante) é positivo. O valor
é compatível com isso.