Exercício 2) Calcule a vazão do canal trapezoidal com os seguintes dados: \mathrm{I}=0,4 por mil, n=0,013, y=1 \mathrm{~m}, \mathrm{~b}=2,5 \mathrm{me} \theta=30^{\circ} (inclinação dos taludes).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a vazão do canal trapezoidal (ou seja, Q).\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente como foram dados, com unidades):\n
I = 0{,}4\\ \text{por mil} = 0{,}0004,\quad n = 0{,}013,\quad y = 1\\ \mathrm{m},\quad b = 2{,}5\\ \mathrm{m},\quad \theta = 30^\circ
Observação importante do enunciado: \theta é a inclinação dos taludes (ângulo entre o talude e a horizontal).

Passo 2

Converter o ângulo \theta para a inclinação lateral usada na geometria do trapézio.\n
Definição: para um talude que faz ângulo \theta com a horizontal, a projeção horizontal por unidade de altura (o chamado coeficiente m, horizontal/vertical) é
m = \cot\theta.
Explicação intuitiva: num triângulo retângulo onde a hipotenusa é o talude, \tan\theta = \dfrac{\text{altura}}{\text{projeção horizontal}}çã. Então a projeção horizontal por 1 m de altura é \dfrac{1}{\tan\theta}=\cot\theta.\n
Aplicando \theta=30^\circ:
m=\cot 30^\circ=\sqrt{3}\approx 1{,}732.

Passo 3

Área da seção molhada A do trapézio.\n
Fórmula (explicada): a área é a soma da área do fundo retangular de largura b e das duas “meias” de triângulo dos taludes. Isso dá
A = b\,y + m\,y^2.
Aqui b = largura do fundo, y = tirante (profundidade), m = coeficiente horizontal por unidade vertical (de cada lado).\n
Substituindo os valores:
A = 2{,}5\cdot 1 + 1{,}732\cdot 1^2 = 2{,}5 + 1{,}732 = 4{,}232\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Perímetro molhado P.\n
Fórmula (explicada): o perímetro molhado é a soma da largura do fundo b com os comprimentos inclinados dos dois taludes. Cada talude tem comprimento \sqrt{y^2+(m y)^2}=y\sqrt{1+m^2}. Então
P = b + 2\,y\sqrt{1+m^2}.
Substituindo m=\sqrt{3} (logo m^2=3) e y=1:
\sqrt{1+m^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2,
logo
P = 2{,}5 + 2\cdot 1 \cdot 2 = 2{,}5 + 4 = 6{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Raio hidráulico R.\n
Definição: R é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado,
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores calculados:
R = \frac{4{,}232}{6{,}5} \approx 0{,}65185\\ \mathrm{m}.
Explicação: R tem a dimensão de comprimento e é uma medida “efetiva” da profundidade para o escoamento.

Passo 6

Fórmula de Manning (explicada): para escoamento uniforme em canais abertos usa-se a fórmula de Manning
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde\n
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),\n
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning,\n
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2),\n
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}),\n
  • S é a declividade do canal (adimensional) — aqui S=I=0{,}0004.\n
    Observação: S^{1/2}=\sqrt{S}.

Passo 7

Calcular R^{2/3} e \sqrt{S}.\n
Cálculo de R^{2/3}: é equivalente a tirar a raiz cúbica de R e elevar ao quadrado, ou elevar R à potência 0{,}666\ldots. Usando R\approx 0{,}65185,
R^{2/3} \approx 0{,}75172.
Cálculo de \sqrt{S} com S=0{,}0004:
\sqrt{S} = \sqrt{0{,}0004} = 0{,}02.

Passo 8

Substituir tudo na fórmula de Manning e calcular Q.\n
Primeiro calcule o produto A\,R^{2/3}:
A\,R^{2/3} \approx 4{,}232 \times 0{,}75172 \approx 3{,}17996.
Agora multiplica pelo fator \dfrac{1}{n} com n=0{,}013:
\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3} \approx \frac{3{,}17996}{0{,}013} \approx 244{,}612.
Finalmente multiplica por \sqrt{S}=0{,}02:
Q \approx 244{,}612 \times 0{,}02 \approx 4{,}89224\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 9

Arredondamento final e verificação rápida:\n
O valor calculado é Q\approx 4{,}892\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Está coerente dimensionalmente e numericamente (ordem de grandeza típica para um canal com y=1 m e b=2{,}5 m).\n
Força final: respira, você chegou lá — com esses passos você consegue repetir o cálculo para qualquer profundidade, largura ou ângulo.

Resposta

\displaystyle Q \approx 4{,}892\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

Exercícios relacionados