EXERCÍCIO 2: Calcule a velocidade do som no:
Ar no nível do mar em um dia-padrão

Passo 1

Enunciado pedido: Calcular a velocidade do som no ar ao nível do mar em um dia-padrão.
Informações relevantes que vamos usar (valores do dia-padrão ISA ao nível do mar):
\;T_0 = 15^\circ\mathrm{C} = 288,15\\ \mathrm{K}.
Valores físicos necessários que o enunciado não dá explicitamente, mas são padronizados:
\;\gamma (razão dos calores específicos para o ar) e \;R (constante específica do ar). Vou usar os valores típicos:
\;\gamma = 1,4 e \;R = 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática): existe uma fórmula geral para a velocidade do som em um gás perfeito, obtida combinando a relação entre pressão e densidade com a termodinâmica das ondas sonoras. Essa fórmula é
c=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}.
Aqui:
  • c é a velocidade do som (em \mathrm{m/s}),
  • \gamma é a constante adiabática (razão c_p/c_v),
  • p é a pressão do gás (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do gás (em \mathrm{kg/m^3}).
Para ligar isso à temperatura usamos a equação de estado do gás perfeito:
p=\rho R T,
onde R é a constante específica do gás e T é a temperatura absoluta em kelvin. Substituindo p=\rho R T na fórmula anterior obtemos a forma prática muito usada:
c=\sqrt{\gamma R T}.
Essa fórmula mostra que a velocidade do som depende essencialmente da temperatura absoluta T (e dos parâmetros do gás \gamma e R).

Passo 3

Definir claramente cada símbolo e os valores numéricos que vamos inserir:
\gamma = 1,4,
R = 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
T = 288,15\\ \mathrm{K}\quad(\text{equivalente a }15^\circ\mathrm{C}).
Unidades: a expressão \gamma R T tem unidade \mathrm{(m^2/s^2)}, portanto a raiz quadrada dá \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o produto R\cdot T. Execute passo a passo:
R\cdot T = 287,05 \times 288,15.
Faço a multiplicação por partes para ficar claro:
287,05\times 288,15 = 287,05\times(288 + 0,15) = 287,05\times 288 + 287,05\times 0,15.
Calcule cada termo:
287,05\times 288 = 82\,670,4
287,05\times 0,15 = 43,0575
Somando:
R\cdot T = 82\,670,4 + 43,0575 = 82\,713,4575.

Passo 5

Multiplicar pelo fator \gamma:
\gamma R T = 1,4 \times 82\,713,4575 = 115\,798,8405.

Passo 6

Agora aplico a raiz quadrada para obter c:
c = \sqrt{115\,798,8405}\\ \mathrm{m/s}.
Extraindo a raiz (aproximação numérica feita por cálculo manual/estimativa controlada):
c \approx 340,3\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida sobre arredondamento: a raiz quadrada de 115\,798,8405 é aproximadamente 340,294\dots; arredondei para uma casa decimal, que é suficiente para a maioria dos problemas práticos.

Passo 7

Interpretação e dica prática para prova: a fórmula \;c=\sqrt{\gamma R T} mostra que c depende como a raiz quadrada da temperatura absoluta. Assim, se a temperatura muda, você pode estimar rapidamente a nova velocidade por
\frac{c_2}{c_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.
Exemplo rápido: para 0^\circ\mathrm{C} ( T=273,15\\ \mathrm{K}) obtém-se c\approx 331,3\\ \mathrm{m/s}. Bom para checar ordem de grandeza na prova.

Resposta

\;340,3\\ \mathrm{m/s}

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