Exercício 1: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2, y=0, x=0 e x=2 em torno do eixo x.
V=pi integral0^2(x^2)^2 d x

Passo 1

Nesse exercício, temos a região no plano xy limitada por y = x², y = 0, x = 0 e x = 2, que é girada em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução e vamos usar o método dos discos, que requer a fórmula do volume.

Passo 2

No método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x tem raio igual a f(x) = x². A área do disco é A(x)=pil(f(x)r)^2 = pi,(x^2)^2 = pi,x^4. Para o volume, integramos de x = 0 até x = 2:
Montamos a integral de volume:
V = integral0^2 A(x),dx = pi integral0^2 x^4 ,dx

Passo 3

Para calcular integral0^2 x^4 ,dx, usamos a regra de potência: integral x^n dx = x^n+1/(n+1). Assim,
integral0^2 x^4 ,dx = gl[x^55gr]0^2 = 2^55 - 0 = 325

Passo 4

Multiplicando pelo fator pi, obtemos o volume.

Resposta

V=32pi5

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