Exercício 3: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=2 x-x^2, y=0, x=0 e x=2 em torno do eixo x.
V=pi integral0^2(2 x-x^2)^2 d x

Passo 1

Para começar, a gente quer calcular o volume gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y=2x-x^2, y=0, x=0 e x=2. O conteúdo aqui é volume por método dos discos, usando a fórmula V=piintegral0^2[y(x)]^2,dx com y(x)=2x-x^2.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado do polinômio para facilitar a integração.
(2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4

Passo 3

Substituindo na integral de volume, fica:
pi integral0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4),dx
Agora calculamos a antiderivada de cada termo:
integral (4x^2 - 4x^3 + x^4),dx = 4x^33 - x^4 + x^55

Passo 4

Avaliando de 0 a 2:
(4cdot2^33 - 2^4 + 2^55) - 0 = 323 - 16 + 325 = 1615

Passo 5

Multiplicando pelo pi, o volume final fica V = pi cdot 1615.

Resposta

16pi15

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