Utilizando frações parciais, calcule a integral
.
(
.
(
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, e queremos simplificar a integral para facilitar a solução. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações simples:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral original:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando os valores absolutos e os cálculos dos logaritmos: