Utilizando frações parciais, calcule a integral integral0^1 x-4x^2-5 x+6 d x.
( 3 ln (2)-ln (3)
circ ln
circ^ln (2) ln (2)-3 ln (3) ln (3)-3 ln (2)
0 ln (3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 x-4x^2-5 x+6 , dx usando frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, e queremos simplificar a integral para facilitar a solução. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então podemos escrever:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x-4(x-2)(x-3) em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações simples:
x-4(x-2)(x-3) = Ax-2 + Bx-3
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-2)(x-3):
x - 4 = A(x - 3) + B(x - 2)
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Para x = 3:
3 - 4 = A(3 - 3) + B(3 - 2) implies -1 = 0 + B(1) implies B = -1
  1. Para x = 2:
2 - 4 = A(2 - 3) + B(2 - 2) implies -2 = A(-1) + 0 implies A = 2
Então, A = 2 e B = -1.

Passo 5

Agora que temos A e B, podemos reescrever a integral original:
integral0^1 x-4x^2-5 x+6 , dx = integral0^1 ( 2x-2 - 1x-3 ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x-2 , dx = 2 ln|x - 2|
integral -1x-3 , dx = -ln|x - 3|
Então, a integral fica:
2 ln|x - 2| - ln|x - 3| g|0^1

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 2 ln|1 - 2| - ln|1 - 3| ] - [ 2 ln|0 - 2| - ln|0 - 3| ]
Simplificando os valores absolutos e os cálculos dos logaritmos:
2 ln(1) - ln(2) - ( 2 ln(2) - ln(3) ) = 0 - ln(2) - 2 ln(2) + ln(3)
= -3 ln(2) + ln(3)
= ln(3) - 3 ln(2)

Resposta

ln(3) - 3 ln(2)

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