Em um reator químico cilíndrico utilizado em processos industriais, a base é formada por uma parábola y=2 x^2, com limites de x=0 até x=5. O reator gira ao redor do eixo x. Calcule o volume do reator.
V=pi integral0^5(2 x^2)^2 d x

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girarmos a curva y=2x^2, de x=0 até x=5, em torno do eixo x. O conteúdo necessário é o método dos discos (volume por revolução).

Passo 2

Pelo método dos discos, cada seção transversal em x é um disco de raio y=f(x), e o volume é dado por
V=piintegral0^5[f(x)]^2,dx

Passo 3

Aqui temos f(x)=2x^2, logo
[f(x)]^2=(2x^2)^2=4x^4
Substituindo na fórmula do volume, obtemos
V=piintegral0^54x^4,dx

Passo 4

Fatoramos a constante 4 e calculamos a integral:
integral0^54x^4,dx=4integral0^5x^4,dx=4l[x^55r]0^5=4cdot5^55=4cdot625=2500

Passo 5

Multiplicando por pi, concluímos que o volume do reator é V=2500,\pi.

Resposta

2500\pi

Exercícios relacionados