Exercício 1:

Calcule o volume de um prisma de base pentagonal, onde A B C D E é um dos pentágonos base do prisma, com coordenadas A=(1,3,4), B=(2,2,3), C=(3,3,5), D=(2,4,6), E=(1,5,7) e FGHIJ é o outro pentágono base do prisma, com coordenadas F=(2,14,0), G=(3,13,-1), H=(4,14,1), I=(3,15,2), J=(2,16,3).

Passo 1

O enunciado pede o volume de um prisma de base pentagonal, cujos vértices de uma base são
A=(1,3,4),;B=(2,2,3),;C=(3,3,5),;D=(2,4,6),;E=(1,5,7)
e da outra base
F=(2,14,0),;G=(3,13,-1),;H=(4,14,1),;I=(3,15,2),;J=(2,16,3)
O conteúdo usado será área de polígono em 3D via soma de áreas de triângulos e distância entre planos para achar a altura do prisma.

Passo 2

Para identificar o prisma, notamos que
v=F-A=(1,11,-4),
e de fato G=B+v, H=C+v, I=D+v, J=E+v, mostrando que a segunda base é uma translação da primeira por v. Assim a altura do prisma será a distância entre os planos das bases na direção de v.

Passo 3

Vamos calcular a área da base pentagonal triangulando-a em três triângulos triang<= ABC, triang<= ACD e triang<= ADE. Primeiro definimos
AB=(1,-1,-1), AC=(2,0,1), AD=(1,1,2), AE=(0,2,3)
O produto vetorial de cada par dá
ABtimesAC=ACtimesAD=ADtimesAE=(-1,-3,2),
cujo módulo é raiz14. Logo cada área triangular é
12raiz14,
e somando os três triângulos a área da base é
32raiz14

Passo 4

O vetor normal ao plano da base pode ser escolhido como
n=(-1,-3,2),
com |n|=raiz14. A altura do prisma é a projeção de v em n:
h=|vcdotn||n|=|-42|raiz14=3raiz14

Passo 5

Finalmente, o volume do prisma é
V=área da basetimes h=32raiz14times3raiz14=92times14=63 á

Resposta

63

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