Exercício 1:
Calcule o volume de um prisma de base pentagonal, onde
é um dos pentágonos base do prisma, com coordenadas
e FGHIJ é o outro pentágono base do prisma, com coordenadas
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um prisma de base pentagonal, cujos vértices de uma base são
e da outra base
O conteúdo usado será área de polígono em 3D via soma de áreas de triângulos e distância entre planos para achar a altura do prisma.
Passo 2
Para identificar o prisma, notamos que
e de fato
,
,
,
, mostrando que a segunda base é uma translação da primeira por
. Assim a altura do prisma será a distância entre os planos das bases na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular a área da base pentagonal triangulando-a em três triângulos
,
e
. Primeiro definimos
O produto vetorial de cada par dá
cujo módulo é
. Logo cada área triangular é
e somando os três triângulos a área da base é
Passo 4
O vetor normal ao plano da base pode ser escolhido como
com
. A altura do prisma é a projeção de
em
:
Passo 5
Finalmente, o volume do prisma é