Faça o que se pede:
( 5 pontos) Determine a matriz D2 times 2 tal que D(-D)^T=0. Explicite os passos da solução.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz DinR^2times2 (ou em outro corpo, mas vamos assumir R) tal que
D,(-D)^T = 0,
ou seja,
-D,D^T = 0
O conteúdo é álgebra de matrizes e transposta, e vamos usar a interpretação de produto matricial em termos de produtos escalares de linhas.

Passo 2

Reescrevendo a equação -D,D^T=0, multiplicamos ambos os lados por -1 e obtemos
D,D^T = 0

Passo 3

Seja
D = v1 [6pt] v2 ,
onde v1=(d11,d12) e v2=(d21,d22) são as linhas de D. Então o produto
D,D^T
é a matriz cujos elementos são produtos escalares das linhas:
D,D^T = v1!cdot!v1 & v1!cdot!v2 [4pt] v2!cdot!v1 & v2!cdot!v2 ]

Passo 4

Impor D,D^T=0 equivale a exigir
v1!cdot!v1 = 0, v2!cdot!v2 = 0, v1!cdot!v2 = 0

Passo 5

Para vetores reais, v!cdot!v=0 só ocorre se v=(0,0). Logo v1=(0,0) e v2=(0,0).
Concluímos que a única matriz 2times2 que satisfaz D,D^T=0 é a matriz nula.

Resposta

D = 0 & 0[4pt]0 & 0 ]

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