Exercício 4: Calcule o volume do sólido S em cada caso.
S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide
e que está acima da região D do plano xy limitada por
e
.
S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido
que é limitado superiormente pelo parabolóide
e que está “acima” da região
do plano
limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Superfície superior:
. - Região no plano
: é a região limitada por e . - O volume do sólido acima de
e abaixo da superfície é o que se pede.
O que precisamos encontrar:
- A descrição explícita da região
(para poder integrar). - O valor do volume
do sólido .
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas que limitam
.
Resolver
.
Logo
ou
. Correspondendo, os pontos de interseção são
e
.
Agora determinar qual curva é a borda superior (maior
) entre
e
. Compare
e
:
Para
temos
, então
. Logo, sobre o intervalo
, a curva
fica acima e
fica abaixo.
Portanto uma descrição conveniente de
é:
Passo 3
Montar a integral dupla para o volume.
Lembrete prático: o volume sob a superfície
sobre uma região
no plano é
Aqui
. Usando a descrição de
em ordem
, temos
Explico porquê: para cada ponto
em
, a altura do sólido é
que vai de
até
; integrar essa altura sobre
dá o volume.
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
).
Calcular
Antiderivada em
: uma primitiva de
em relação a
é
(porque
é constante quando integrando em
).
Avaliar nos limites:
Agora simplificar cada termo:
-
. -
. -
, então . -
, então .
Juntando:
Passo 5
Combinar termos semelhantes para obter um polinômio mais simples a integrar em
.
Some os termos em
:
Portanto a expressão fica
Assim
Passo 6
Integrar termo a termo em
e avaliar de
a
.
Calcule cada primitiva:
Logo
Avaliar em
:
Portanto
Passo 7
Fazer a soma/subtração final usando denominador comum para simplificar.
Denominador comum é
. Converter:
Subtraindo:
Simplificando por
: