Exercício 4: Calcule o volume do sólido S em cada caso.
S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e que está acima da região D do plano xy limitada por y=2 x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido S que é limitado superiormente pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e que está “acima” da região D do plano xy limitada pelas curvas y=2x e y=x^{2}.
Informações dadas:
  • Superfície superior: z=x^{2}+y^{2}.
  • Região no plano xy: D é a região limitada por y=2x e y=x^{2}.
  • O volume do sólido acima de D e abaixo da superfície é o que se pede.
O que precisamos encontrar:
  • A descrição explícita da região D (para poder integrar).
  • O valor do volume V do sólido S.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas que limitam D.
Resolver x^{2}=2x.
x^{2}-2x=0\quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0
Logo x=0 ou x=2. Correspondendo, os pontos de interseção são (0,0) e (2,4).
Agora determinar qual curva é a borda superior (maior y) entre x=0 e x=2. Compare 2x e x^{2}:
2x-x^{2}=x(2-x).
Para 0\le x\le2 temos x(2-x)\ge0, então 2x\ge x^{2}. Logo, sobre o intervalo 0\le x\le2, a curva y=2x fica acima e y=x^{2} fica abaixo.
Portanto uma descrição conveniente de D é:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\; x^{2}\le y\le 2x\}.

Passo 3

Montar a integral dupla para o volume.
Lembrete prático: o volume sob a superfície z=f(x,y) sobre uma região D no plano é
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Usando a descrição de D em ordem dy\,dx, temos
V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=x^{2}}^{2x} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.
Explico porquê: para cada ponto (x,y) em D, a altura do sólido é z que vai de 0 até x^{2}+y^{2}; integrar essa altura sobre D dá o volume.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em y).
Calcular
\int_{y=x^{2}}^{2x} (x^{2}+y^{2})\,dy.
Antiderivada em y: uma primitiva de x^{2}+y^{2} em relação a y é x^{2}y+\dfrac{y^{3}}{3} (porque x^{2} é constante quando integrando em y).
Avaliar nos limites:
\Bigl[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} = x^{2}(2x)-x^{2}(x^{2})+\frac{(2x)^{3}}{3}-\frac{(x^{2})^{3}}{3}.
Agora simplificar cada termo:
  • x^{2}(2x)=2x^{3}.
  • x^{2}(x^{2})=x^{4}.
  • (2x)^{3}=8x^{3}, então \dfrac{(2x)^{3}}{3}=\dfrac{8x^{3}}{3}.
  • (x^{2})^{3}=x^{6}, então \dfrac{(x^{2})^{3}}{3}=\dfrac{x^{6}}{3}.
Juntando:
\int_{y=x^{2}}^{2x} (x^{2}+y^{2})\,dy = 2x^{3}-x^{4}+\frac{8x^{3}}{3}-\frac{x^{6}}{3}.

Passo 5

Combinar termos semelhantes para obter um polinômio mais simples a integrar em x.
Some os termos em x^{3}:
2x^{3}+\frac{8x^{3}}{3}=\frac{6x^{3}+8x^{3}}{3}=\frac{14x^{3}}{3}.
Portanto a expressão fica
\frac{14}{3}x^{3}-x^{4}-\frac{1}{3}x^{6}.
Assim
V=\int_{0}^{2}\left(\frac{14}{3}x^{3}-x^{4}-\frac{1}{3}x^{6}\right)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo em x e avaliar de 0 a 2.
Calcule cada primitiva:
  • \displaystyle \int \frac{14}{3}x^{3}\,dx=\frac{14}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{14}{12}x^{4}=\frac{7}{6}x^{4}.
  • \displaystyle \int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{3}x^{6}\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{7}}{7}=\frac{x^{7}}{21}.
Logo
V=\Bigl[\frac{7}{6}x^{4}-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{21}\Bigr]_{0}^{2}.
Avaliar em x=2:
  • \displaystyle \frac{7}{6}\cdot 2^{4}=\frac{7}{6}\cdot 16=\frac{112}{6}=\frac{56}{3}.
  • \displaystyle \frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
  • \displaystyle \frac{2^{7}}{21}=\frac{128}{21}.
Portanto
V=\frac{56}{3}-\frac{32}{5}-\frac{128}{21}.

Passo 7

Fazer a soma/subtração final usando denominador comum para simplificar.
Denominador comum é 105. Converter:
\frac{56}{3}=\frac{56\cdot35}{105}=\frac{1960}{105}, \qquad \frac{32}{5}=\frac{32\cdot21}{105}=\frac{672}{105}, \qquad \frac{128}{21}=\frac{128\cdot5}{105}=\frac{640}{105}.
Subtraindo:
V=\frac{1960-672-640}{105}=\frac{648}{105}.
Simplificando por 3:
V=\frac{216}{35}.

Resposta

\dfrac{216}{35}

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