Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001 :
f(x)=2 x-e^{-x}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação
f(x)=2x-e^{-x}=0
usando o método de Newton, com as tolerâncias \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0001.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x-e^{-x}.
  • As tolerâncias de parada são \epsilon_{1}=0{,}0001 e \epsilon_{2}=0{,}0001.
  • O método a ser usado é o método de Newton (já indicado no enunciado).

Passo 2

Explicando o método de Newton e as notações que vou usar (aula rapidinha e prática).
  • O método de Newton gera uma sequência \{x_n\} definida por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual da raiz;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação;
  • f'(x) é a derivada de f em x.
  • Para nossa função, calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-e^{-x}\bigr)=2+e^{-x}.
  • Critérios de parada (vou exigir que ambos sejam satisfeitos):
    1. Diferença entre iterações pequena: \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\epsilon_{1}.
    2. Resíduo pequeno: \lvert f(x_{n+1})\rvert<\epsilon_{2}.
      Explicando em palavras: paro quando a aproximação não muda mais (critério 1) e a função avaliada na aproximação está próxima de zero (critério 2).

Passo 3

Escolha do chute inicial x_0.
  • Observação rápida: f(0)=2\cdot0-e^{0}=-1<0 e f(1)=2\cdot1-e^{-1}=2-e^{-1}>0, logo existe raiz em (0,1).
  • Para facilitar contas e garantir convergência rápida, escolho x_0=0. É um chute simples e gera iteração com números fáceis (no exame também dá para escolher 0{,}5 ou 0{,}3). Vamos em frente com x_0=0.

Passo 4

Primeira iteração (de x_0 para x_1).
  • Calcule f(x_0) e f'(x_0) em x_0=0:
f(0)=2\cdot0-e^{0}=-1,\qquad f'(0)=2+e^{0}=3.
  • Aplicando a fórmula de Newton:
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}=0{,}3333333333\ldots
(guardei \,x_1=0{,}3333333333 com várias casas para não acumular arredondamento).

Passo 5

Segunda iteração (de x_1 para x_2).
  • Avaliando f e f' em x_1=\dfrac{1}{3}:
e^{-1/3}\approx0{,}7165313105737893,
(esse número veio da avaliação de e^{-1/3}; em prova pode usar tabela ou calculadora quando permitido; aqui uso uma aproximação razoável). Então
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=2\cdot\tfrac{1}{3}-e^{-1/3}=0{,}6666666667-0{,}7165313106\approx-0{,}0498646439,
f'\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=2+e^{-1/3}\approx2{,}7165313106.
  • Agora a correção:
\Delta x = \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx\frac{-0{,}0498646439}{2{,}7165313106}\approx-0{,}0183560397.
  • Portanto
x_2 = x_1 - \Delta x \approx 0{,}3333333333 - (-0{,}0183560397) \approx 0{,}3516893730.

Passo 6

Terceira iteração (de x_2 para x_3).
  • Avaliando f e f' em x_2\approx0{,}3516893730.
    • Primeiro 2x_2 \approx 0{,}7033787460.
    • Para e^{-x_2} uso a relação e^{-x_2}\approx0{,}7034993528 (obtida multiplicando e^{-1/3} por e^{-(x_2-x_1)} ou avaliando diretamente).
    • Então
f(x_2)=2x_2-e^{-x_2}\approx0{,}7033787460-0{,}7034993528\approx-0{,}0001206068.
f'(x_2)=2+e^{-x_2}\approx2{,}7034993528.
  • Correção:
\Delta x=\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx\frac{-0{,}0001206068}{2{,}7034993528}\approx-0{,}0000445880.
  • Atualização:
x_3 = x_2 - \Delta x \approx 0{,}3516893730 - (-0{,}0000445880) \approx 0{,}3517339610.

Passo 7

Verificação dos critérios de parada.
  • Diferença entre iterações:
\lvert x_3-x_2\rvert \approx 0{,}0000445880 < \epsilon_{1}=0{,}0001.
  • Resíduo:
    • Avaliando f(x_3): com x_3\approx0{,}3517339610 obtemos (aproximando)
f(x_3)=2x_3-e^{-x_3}\approx0{,}7034679220-0{,}7034679860\approx-0{,}000000064\quad(\text{ou seja, }|f(x_3)|\approx6{,}4\times10^{-8}).
|f(x_3)|\approx6{,}4\times10^{-8}<\epsilon_{2}=0{,}0001.
  • Conclusão: ambos os critérios são satisfeitos nesta iteração, logo podemos parar. A solução aproximada é x\approx0{,}3517339610.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
  • Se pedirem precisão \epsilon, deixe explícito quais critérios você usa (diferença de iterações e/ou resíduo), e verifique ambos quando pedirem duas tolerâncias.
  • Escolha x_0 perto do intervalo onde muda o sinal de f (aumenta a chance de convergência rápida).
  • Anote sempre f(x_n), f'(x_n) e \Delta x para justificar a parada.

Resposta

\,x\approx0{,}3517339610

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