Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação
usando o método de Newton, com as tolerâncias
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - As tolerâncias de parada são
e . - O método a ser usado é o método de Newton (já indicado no enunciado).
Passo 2
Explicando o método de Newton e as notações que vou usar (aula rapidinha e prática).
- O método de Newton gera uma sequência
definida por
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é a próxima aproximação; -
é a derivada de em . - Para nossa função, calculamos a derivada:
- Critérios de parada (vou exigir que ambos sejam satisfeitos):
- Diferença entre iterações pequena:
. - Resíduo pequeno:
.
Explicando em palavras: paro quando a aproximação não muda mais (critério 1) e a função avaliada na aproximação está próxima de zero (critério 2).
- Diferença entre iterações pequena:
Passo 3
Escolha do chute inicial
.
- Observação rápida:
e , logo existe raiz em . - Para facilitar contas e garantir convergência rápida, escolho
. É um chute simples e gera iteração com números fáceis (no exame também dá para escolher ou ). Vamos em frente com .
Passo 4
Primeira iteração (de
para
).
- Calcule
e em :
- Aplicando a fórmula de Newton:
(guardei
com várias casas para não acumular arredondamento).
Passo 5
Segunda iteração (de
para
).
- Avaliando
e em :
(esse número veio da avaliação de
; em prova pode usar tabela ou calculadora quando permitido; aqui uso uma aproximação razoável). Então
- Agora a correção:
- Portanto
Passo 6
Terceira iteração (de
para
).
- Avaliando
e em . - Primeiro
. - Para
uso a relação (obtida multiplicando e^{-1/3} por ou avaliando diretamente). - Então
- Primeiro
- Correção:
- Atualização:
Passo 7
Verificação dos critérios de parada.
- Diferença entre iterações:
- Resíduo:
- Avaliando
: com obtemos (aproximando)
- Avaliando
- Conclusão: ambos os critérios são satisfeitos nesta iteração, logo podemos parar. A solução aproximada é
.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
- Se pedirem precisão
, deixe explícito quais critérios você usa (diferença de iterações e/ou resíduo), e verifique ambos quando pedirem duas tolerâncias. - Escolha
perto do intervalo onde muda o sinal de (aumenta a chance de convergência rápida). - Anote sempre
, e para justificar a parada.