As raízes de f(x)=\ln (x)-x+2=0 podem ser determinadas usando o MPF.
Considerando os processo iterativos:
(b) x_{i+1}=e^{x_{i}-2}
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

O enunciado dá a equação cuja raiz queremos:
f(x)=\ln(x)-x+2=0,
e apresenta o processo iterativo (b)
x_{i+1}=e^{x_i-2}.
O que é pedido:
  • Usar o critério de convergência do método do ponto fixo para analisar o processo iterativo x_{i+1}=e^{x_i-2}: verificar se ele converge para as raízes de f(x)=0.
  • A partir de uma solução inicial (não fornecida), determinar as raízes da equação (ou seja, aproximá‑las numericamente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida apenas para x>0 (por causa do \ln(x)).
  • O iterador proposto é g(x)=e^{x-2} (pois a forma x=g(x) é equivalente à equação original).

Passo 2

O que é o método do ponto fixo e qual o critério de convergência que usaremos.
  • Método do ponto fixo: dado g(x), define‑se a iteração
x_{i+1}=g(x_i).
Uma solução r do problema é um ponto fixo, isto é, r=g(r). No nosso caso, raízes de f equivalem a pontos fixos de g porque f(x)=0 \Leftrightarrow \ln(x)-x+2=0 \Leftrightarrow x=e^{x-2}.
  • Critério de convergência (teste derivada / convergência local):
    Se g é diferenciável e existe um ponto fixo r tal que |g'(r)|<1, então a iteração x_{i+1}=g(x_i) converge localmente para r (isto é, para x_0 suficientemente perto de r). Mais forte: se existe um intervalo I com g(I)\subset I e \max_{x\in I}|g'(x)|<1, então g é uma contracção em I e a iteração converge para o único ponto fixo em I para qualquer x_0\in I (Teorema do ponto fixo de Banach).
Aqui:
g(x)=e^{x-2}\quad\text{e}\quad g'(x)=e^{x-2}.
Observe que, para um ponto fixo r (ou seja, r=g(r)), tem‑se
g'(r)=e^{r-2}.
Como em r vale e^{r-2}=r (pois r=e^{r-2}), concluímos uma relação útil:
g'(r)=r.
Portanto o critério local |g'(r)|<1 fica simplesmente r<1. Ou seja: qualquer ponto fixo (raiz) com valor r<1 é localmente atraente por este g; qualquer ponto fixo com r>1 é instável (repulsor) pois então |g'(r)|=r>1.

Passo 3

Determine quantas raízes f(x)=\ln(x)-x+2 tem e onde elas estão (análise qualitativa).
  • Domínio: x>0.
  • Derivada de f:
f'(x)=\frac{1}{x}-1.
Logo f'(x)=0 em x=1. Para 0<x<1 tem f'(x)>0 (função crescente) e para x>1 tem f'(x)<0 (função decrescente). Portanto f tem um máximo em x=1.
  • Valor no máximo:
f(1)=\ln(1)-1+2=1>0.
Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty.
Como a função sobe até x=1 ficando positiva e depois desce para -\infty, há exatamente duas raízes positivas: uma no intervalo (0,1) e outra em (1,\infty).
Conclusão: existem duas raízes reais positivas (duas soluções de x=e^{x-2}) — uma pequena com 0<x<1 e outra maior >1.

Passo 4

Aplicação do critério ao iterador g(x)=e^{x-2}.
  • Nos pontos fixos r vale g'(r)=r. Assim:
    • Se r<1 então |g'(r)|<1 e o ponto fixo é localmente atraente: a iteração converge para esse r quando x_0 estiver suficientemente próximo.
    • Se r>1 então |g'(r)|>1 e o ponto fixo é repulsor: a iteração não converge para esse r (pequenas perturbações afastam a iteração).
Portanto, do ponto de vista do método do ponto fixo usando exatamente g(x)=e^{x-2}, somente a raiz que fica em (0,1) é localmente atraente. A raiz maior (em (1,\infty)) é instável para este g — o método não converge para ela se o ponto inicial estiver ligeiramente afastado.
Além disso, podemos construir um intervalo onde há contracção: considere I=[e^{-2},e^{-1}]. Para x\in I temos
g(x)=e^{x-2}\in[e^{-2},e^{-1}]=I,
e
\max_{x\in I}|g'(x)|=\max_{x\in I}e^{x-2}=e^{-1}<1.
Logo g é contracção em I e há um único ponto fixo em I — precisamente a raiz pequena. Assim, para qualquer x_0\in I (ou, por extensão, para muitos x_0 em [0,1]) a iteração converge para a raiz em (0,1).

Passo 5

Cálculo numérico da raiz pequena usando iteração x_{i+1}=e^{x_i-2} a partir de um x_0 razoável.
Escolho x_0=0{,}5 (um ponto dentro de [0,1]). Vou mostrar iterações até convergência aproximada (parando quando a diferença entre iterações fica abaixo de 10^{-6}). Cálculos aproximados (apresento os números com 5–6 casas significativas):
  • x_0=0{,}5.
  • x_1=e^{0{,}5-2}=e^{-1{,}5}=0{,}223130.
  • x_2=e^{0{,}223130-2}=e^{-1{,}776870}\approx 0{,}169450.
  • x_3=e^{0{,}169450-2}=e^{-1{,}830550}\approx 0{,}160157.
  • x_4=e^{0{,}160157-2}=e^{-1{,}839843}\approx 0{,}158777.
  • x_5=e^{0{,}158777-2}=e^{-1{,}841223}\approx 0{,}158501.
  • x_6=e^{0{,}158501-2}=e^{-1{,}841499}\approx 0{,}158587.
  • x_7=e^{0{,}158587-2}=e^{-1{,}841413}\approx 0{,}158574.
A sequência já está oscilando e convergindo. Tomando uma estimativa final com precisão razoável, obtemos a raiz pequena
r_1\approx 0{,}15859.
Dica prática: na prova, faça poucas iterações e verifique a diferença |x_{i+1}-x_i|; se for menor que a tolerância pedida ( 10^{-3}, 10^{-4}, etc.), pare. Aqui mostramos que a iteração converge rapidamente para r_1.

Passo 6

Obtenção da raiz maior (aproximação numérica) e comportamento do iterador relativamente a essa raiz.
  • A raiz maior r_2 satisfaz também r_2=e^{r_2-2}, mas por análise do Passo 4 temos r_2>1 e assim |g'(r_2)|=r_2>1: o ponto fixo é instável para o iterador g(x)=e^{x-2}. Portanto o método do ponto fixo com essa forma não é adequado para convergir localmente para a raiz maior.
  • Para localizar numericamente r_2 podemos usar métodos robustos como bissecção (não exige derivada) ou um método direto (p.ex. Newton) com cuidado. Aqui faço um rápido isolamento e interpolação linear entre pontos para achar r_2:
Avaliações:
f(3{,}14)=\ln(3{,}14)-3{,}14+2\approx 0{,}004225>0,
f(3{,}15)=\ln(3{,}15)-3{,}15+2\approx -0{,}002595<0.
Logo existe uma raiz em (3{,}14,3{,}15). Interpolando linearmente (aproximação) obtemos
r_2\approx 3{,}140 + \frac{0{,}004225}{0{,}004225+0{,}002595}\cdot 0{,}010 \approx 3{,}14619.
Portanto uma boa aproximação para a raiz maior é
r_2\approx 3{,}14619.
(Se for exigida mais precisão, usar bissecção refinada ou Newton a partir de x_0\approx 3{,}146.)
Observação sobre dinâmica: embora a raiz maior seja instável, dependendo do x_0 a iteração com g pode não divergir monotonicamente — por exemplo, para certos x_0 maiores que 1 a sequência pode cair depois em direção à raiz pequena (como mostrado por iterações experimentais). Contudo isso não é uma convergência para a raiz grande: ela não é um atrator local.

Passo 7

Conclusão prática e dica para a prova.
  • O processo iterativo x_{i+1}=e^{x_i-2} converge (localmente e de forma garantida por contracção) para a raiz pequena r_1\in(0,1). Uma escolha segura de intervalo/valor inicial é qualquer x_0\in[e^{-2},e^{-1}] ou, de modo geral, x_0\in[0,1]; por exemplo, x_0=0{,}5 levou rapidamente a r_1\approx 0{,}15859.
  • O mesmo processo não converge para a raiz maior r_2 porque nesse ponto |g'(r_2)|>1; portanto, para obter r_2 use outro rearranjo g(x) adequado ou outro método numérico (bissecção, Newton com bom palpite, etc.). Uma aproximação por bissecção/interpolação dá r_2\approx 3{,}14619.
  • Dica de prova: aplique o teste |g'(r)|<1 no ponto fixo para decidir estabilidade local; e verifique a existência/únicidade no intervalo usando g(I)\subset I e \max_{I}|g'|<1 (Banach) para garantir convergência global no intervalo.

Resposta

r_1\approx 0,15859
r_2\approx 3,14619

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