As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF.
Considerando os processo iterativos:
(b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação cuja raiz queremos:
e apresenta o processo iterativo (b)
O que é pedido:
- Usar o critério de convergência do método do ponto fixo para analisar o processo iterativo
: verificar se ele converge para as raízes de . - A partir de uma solução inicial (não fornecida), determinar as raízes da equação (ou seja, aproximá‑las numericamente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida apenas para
(por causa do ). - O iterador proposto é
(pois a forma é equivalente à equação original).
Passo 2
O que é o método do ponto fixo e qual o critério de convergência que usaremos.
- Método do ponto fixo: dado
, define‑se a iteração
Uma solução
do problema é um ponto fixo, isto é,
. No nosso caso, raízes de
equivalem a pontos fixos de
porque
.
- Critério de convergência (teste derivada / convergência local):
Seé diferenciável e existe um ponto fixo tal que , então a iteração converge localmente para (isto é, para suficientemente perto de ). Mais forte: se existe um intervalo com e , então é uma contracção em e a iteração converge para o único ponto fixo em para qualquer (Teorema do ponto fixo de Banach).
Aqui:
Observe que, para um ponto fixo
(ou seja,
), tem‑se
Como em
vale
(pois
), concluímos uma relação útil:
Portanto o critério local
fica simplesmente
. Ou seja: qualquer ponto fixo (raiz) com valor
é localmente atraente por este
; qualquer ponto fixo com
é instável (repulsor) pois então
.
Passo 3
Determine quantas raízes
tem e onde elas estão (análise qualitativa).
- Domínio:
. - Derivada de
:
Logo
em
. Para
tem
(função crescente) e para
tem
(função decrescente). Portanto
tem um máximo em
.
- Valor no máximo:
Comportamento nas extremidades:
Como a função sobe até
ficando positiva e depois desce para
, há exatamente duas raízes positivas: uma no intervalo
e outra em
.
Conclusão: existem duas raízes reais positivas (duas soluções de
) — uma pequena com
e outra maior
.
Passo 4
Aplicação do critério ao iterador
.
- Nos pontos fixos
vale . Assim: - Se
então e o ponto fixo é localmente atraente: a iteração converge para esse quando estiver suficientemente próximo. - Se
então e o ponto fixo é repulsor: a iteração não converge para esse (pequenas perturbações afastam a iteração).
- Se
Portanto, do ponto de vista do método do ponto fixo usando exatamente
, somente a raiz que fica em
é localmente atraente. A raiz maior (em
) é instável para este
— o método não converge para ela se o ponto inicial estiver ligeiramente afastado.
Além disso, podemos construir um intervalo onde há contracção: considere
. Para
temos
e
Logo
é contracção em
e há um único ponto fixo em
— precisamente a raiz pequena. Assim, para qualquer
(ou, por extensão, para muitos
em
) a iteração converge para a raiz em
.
Passo 5
Cálculo numérico da raiz pequena usando iteração
a partir de um
razoável.
Escolho
(um ponto dentro de
). Vou mostrar iterações até convergência aproximada (parando quando a diferença entre iterações fica abaixo de
). Cálculos aproximados (apresento os números com 5–6 casas significativas):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
A sequência já está oscilando e convergindo. Tomando uma estimativa final com precisão razoável, obtemos a raiz pequena
Dica prática: na prova, faça poucas iterações e verifique a diferença
; se for menor que a tolerância pedida (
,
, etc.), pare. Aqui mostramos que a iteração converge rapidamente para
.
Passo 6
Obtenção da raiz maior (aproximação numérica) e comportamento do iterador relativamente a essa raiz.
-
A raiz maior
satisfaz também , mas por análise do Passo 4 temos e assim : o ponto fixo é instável para o iterador . Portanto o método do ponto fixo com essa forma não é adequado para convergir localmente para a raiz maior. -
Para localizar numericamente
podemos usar métodos robustos como bissecção (não exige derivada) ou um método direto (p.ex. Newton) com cuidado. Aqui faço um rápido isolamento e interpolação linear entre pontos para achar :
Avaliações:
Logo existe uma raiz em
. Interpolando linearmente (aproximação) obtemos
Portanto uma boa aproximação para a raiz maior é
(Se for exigida mais precisão, usar bissecção refinada ou Newton a partir de
.)
Observação sobre dinâmica: embora a raiz maior seja instável, dependendo do
a iteração com
pode não divergir monotonicamente — por exemplo, para certos
maiores que
a sequência pode cair depois em direção à raiz pequena (como mostrado por iterações experimentais). Contudo isso não é uma convergência para a raiz grande: ela não é um atrator local.
Passo 7
Conclusão prática e dica para a prova.
- O processo iterativo
converge (localmente e de forma garantida por contracção) para a raiz pequena . Uma escolha segura de intervalo/valor inicial é qualquer ou, de modo geral, ; por exemplo, levou rapidamente a . - O mesmo processo não converge para a raiz maior
porque nesse ponto ; portanto, para obter use outro rearranjo adequado ou outro método numérico (bissecção, Newton com bom palpite, etc.). Uma aproximação por bissecção/interpolação dá . - Dica de prova: aplique o teste
no ponto fixo para decidir estabilidade local; e verifique a existência/únicidade no intervalo usando e (Banach) para garantir convergência global no intervalo.