Exercício 1:

a) Determinar o vetor tensão total rhon :
O vetor unitário normal ao plano é 1 / 3(2 i+j+2 k).
Multiplicando o tensor pelo vetor unitário, temos:
rhosim=undersetsimsigma times undersetsimN rhosim=(ccc 25 & 0 & 0 0 & -30 & -60 0 & -60 & 5 ) times(c 23 13 23 )=(c 16,6667 -50 -16,6667 )
O módulo do vetor tensão total é dado por:
|rhon|=raiz(16,6667)^2+(-50)^2+(-16,6667)^2 |rhosim|=55,28 MPa
b) Determinar as componentes do vetor normal e cisalhante neste mesmo plano.
A tensão normal é dada por:
sigman=rhon cdot sim sigman=(16,6667-50-16,6667) times(c 23 13 23 ) sigman=-16,67 MPa taun=raiz(|rhon|)^2-(sigman)^2 taun=raiz(55,2771)^2-(-16,6667)^2 taun=52,70 MPa

Passo 1

O exercício pede para calcular a tensão de superfície (vetor tração) num plano de orientação dada pelo vetor normal unitário, usando um tensor de tensões conhecido. O conteúdo envolve mecânica dos meios contínuos, mais especificamente o cálculo do vetor tração rhon=sigmacdothat n, seu módulo, e depois decompor essa tração nas componentes normal e cisalhante ao plano.

Passo 2

Começamos definindo os dados: o tensor de tensões é
sigma= 25 & 0 & 0 0 & -30 & -60 0 & -60 & 5 MPa
e o vetor normal unitário ao plano é
hat n=13212

Passo 3

Aplicamos a definição de vetor tração
rhon=sigmacdothat n
Fazendo a multiplicação de matriz por vetor, obtemos
$$
\rho_n=
rhon= 25 & 0 & 0 0 & -30 & -60 0 & -60 & 5 2/31/32/3 = 16,6667-50-16,6667 MPa

MPa.
$$

Passo 4

Calculamos o módulo do vetor tração pelo teorema de Pitágoras em R^3:
|rhon|=raiz(16,6667)^2+(-50)^2+(-16,6667)^2=55,28 MPa

Passo 5

A componente normal da tração é obtida pelo produto escalar de rhon com o próprio hat n:
sigman=rhoncdothat n =16,6667 & -50 & -16,6667cdot2/31/32/3 =-16,67 MPa

Passo 6

Por fim, a componente cisalhante (intensidade do cisalhamento) é
taun=raiz|rhon|^2-sigman^2 =raiz(55,28)^2-(-16,67)^2 =52,70 MPa

Resposta

rhon=(16,6667,;-50,;-16,6667) MPa com módulo |rhon|=55,28 MPa, componente normal sigman=-16,67 MPa e componente cisalhante taun=52,70 MPa.

Exercícios relacionados