Exercício 3 - Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m^3 / s, com uma declividade de fundo Io=0,0005 m / m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5 H: 1 V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d’água, a largura de fundo e a tensão média de cisalhamento do canal.

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um canal trapezoidal em regime uniforme para transportar Q=3,25 m^3/s sobre declividade I0=0,0005, com taludes 0,5!:!1 (isto é, m=0,5) e revestimento em alvenaria (vamos adotar n=0,025 em Manning). O canal deve trabalhar na seção de perímetro molhado mínimo, ou seja, escolhemos a forma que, para cada profundidade y, minimiza P dado A. Vamos:
1) encontrar a relação ótima entre base b e altura y;
2) escrever A, P e R;
3) aplicar Manning para achar y;
4) calcular b e a tensão média de cisalhamento tau=gamma R S.

Passo 2

Para seção trapezoidal com talude m, o perímetro molhado é
P = b + 2,yraiz1+m^2,
a área é
A = b,y + m,y^2
Impondo A= constante e minimizando P usando multiplicador de Lagrange ou derivada, obtém-se a condição
b + 2,m,y = 2,yraiz1+m^2 Longrightarrow b = 2,yl(raiz1+m^2-mr)
Aqui m=0,5, logo raiz1+m^2=raiz1,25=1,1180 e
b = 2,y,(1,1180 - 0,5) = 1,236,y

Passo 3

Usando b=1,236,y:
A = b,y + m,y^2 = 1,236,y^2 + 0,5,y^2 = 1,736,y^2,
P = b + 2,yraiz1+m^2 = 1,236,y + 2cdot1,1180,y = 3,472,y,
R = AP = 1,736,y^23,472,y = 0,50,y

Passo 4

A equação de Manning é
Q = 1n,A,R^2/3,S^1/2
Substituindo
Q = 10,025,(1,736,y^2),(0,50,y)^2/3,(0,0005)^1/2
Note que (0,50)^2/3=0,62996 e raiz0,0005=0,022360, então
Q = 43,748;times 1,736;times 0,62996;times 0,022360;y^8/3 approx 0,9786;y^8/3
Igualando a 3,25:
y^8/3 = 3,250,9786 = 3,322 Longrightarrow y = (3,322)^3/8 approx 1,57;m

Passo 5

Com y=1,57 m, a base é
b = 1,236,y = 1,236times1,57 approx 1,94;m
A tensão média de cisalhamento é
tau = gamma,R,S = 9810;Nm^3 times (0,50,y)times0,0005 = 9810times0,785times0,0005 approx 3,85;N/m^2

Resposta

yapprox1,57 m bapprox1,94 m tauapprox3,85 N/m^2

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