Exercício 5.2 Um capacitor coaxial consistindo de um fio interno e um invólucro externo cilíndrico tem um comprimento de 50 cm e um diâmetro externo de 4 mm . Quando conectado a uma bateria de 16,0 \mathrm{~V}, este capacitor pode conter 3 nC de carga no fio. Qual é o raio do fio?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor coaxial com comprimento L=0,50\;\mathrm{m} e raio externo
b = \tfrac{4{,}0\;\mathrm{mm}}{2} = 2{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{m},
sobre o qual se aplica uma tensão V=16{,}0\;\mathrm{V} e obtém-se carga Q=3{,}0\times10^{-9}\;\mathrm{C} no fio interno. O conteúdo é capacitância de um capacitor coaxial, e vamos usar a fórmula que relaciona C, L, os raios e a permissividade do vácuo \varepsilon_0.

Passo 2

Para um capacitor coaxial, a capacitância é
C = \frac{2\pi\,\varepsilon_{0}\,L}{\ln\!\bigl(b/a\bigr)},
onde a é o raio do fio interno que queremos achar.

Passo 3

Como Q = C\,V, substituímos C e isolamos \ln(b/a):
Q = \frac{2\pi\,\varepsilon_{0}\,L}{\ln(b/a)}\,V \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(b/a\bigr) = \frac{2\pi\,\varepsilon_{0}\,L\,V}{Q}.

Passo 4

Calculamos o numerador
2\pi\,\varepsilon_{0}\,L\,V = 2\pi \times 8{,}854\times10^{-12}\,\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}} \times 0{,}50\,\mathrm{m}\times 16{,}0\,\mathrm{V} \approx 4{,}45\times10^{-10}\;\mathrm{C}.
Logo
\ln\!\bigl(b/a\bigr) = \frac{4{,}45\times10^{-10}}{3{,}0\times10^{-9}} \approx 0{,}1484.

Passo 5

Dessa equação temos
\frac{b}{a} = e^{0{,}1484}\approx 1{,}1601 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{b}{1{,}1601} = \frac{2,0\times10^{-3}\,\mathrm{m}}{1{,}1601} \approx 1{,}72\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Resposta

O raio do fio interno é aproximadamente
a \approx 1{,}72\;\mathrm{mm}.

Exercícios relacionados