Exercício 5.3 Quando uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placa paralela, a magnitude da carga ligada é um quarto da magnitude da carga livre. (a) Qual é a constante dielétrica do material de que a placa é feita? (b) Se a placa não preenche o espaço entre as placas, mas em vez disso tem uma largura igual à metade da distância entre as placas, a magnitude da carga limitada muda? Se sim, como? Considere duas configurações, um capacitor isolado e um capacitor ligado a uma bateria que gera uma diferença de potencial constante.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas com dielétrico. Quando o dielétrico preenche todo o espaço entre as placas, a carga ligada (carga ligada = carga ligada nos polos do dielétrico, chamada aqui de carga «limitada» ou «bound charge») tem magnitude igual a um quarto da carga livre Q nas placas. Precisamos (a) determinar a constante dielétrica K desse material e (b) estudar o que ocorre com a carga ligada se o dielétrico ocupar apenas metade da distância entre as placas, em dois casos: capacitor isolado (carga livre fixa) e capacitor ligado a bateria (diferença de potencial fixa).

Passo 2

Em eletrostática de dielétricos, a densidade de carga ligada superficial \sigma_b na interface placa–dielétrico ou dielétrico–vácuo satisfaz
\sigma_b \;=\; P\cdot \hat n \;=\;\bigl(\epsilon_{0}(K-1)\,E\bigr)
e, usando D=\epsilon\,E=\epsilon_0 K\,E e D=\sigma_{\rm livre}, resulta
\sigma_b \;=\;\Bigl(1-\tfrac1K\Bigr)\,\sigma_{\rm livre}.
Em termos de cargas totais,
Q_b \;=\;\Bigl(1-\tfrac1K\Bigr)\,Q.

Passo 3

Como no caso de preenchimento total a carga ligada vale Q_b=Q/4, igualamos
1-\tfrac1K \;=\;\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac1K=1-\tfrac14=\tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad K=\tfrac43.

Passo 4

Agora suponha o dielétrico ocupando só metade da distância entre as placas (espessura d/2 num capacitor de separação total d).
Caso 1: capacitor isolado ( Q fixo).
Em situações de dielétrico em série com vácuo, a densidade D continua sendo D=Q/A em toda a região, e dentro do dielétrico
E_{\rm diel}=\frac{D}{\epsilon_0 K}, \quad P=\epsilon_0(K-1)E_{\rm diel} \quad\Longrightarrow\quad \sigma_b=P=\Bigl(1-\tfrac1K\Bigr)\frac Q A.
Como Q é o mesmo, a carga ligada Q_b=\sigma_b A=(1-1/K)Q não muda quando variamos a espessura do dielétrico.

Passo 5

Caso 2: capacitor ligado à bateria ( V fixo).
A capacitância muda quando só metade do espaço é preenchida:
C'=\frac{A}{(d/2)/\epsilon_0+(d/2)/(K\epsilon_0)} =\frac{2K\,\epsilon_0 A}{(K+1)\,d}.
Então a carga livre passa a ser
Q'=C'\,V,
e a carga ligada fica
Q_b'=\Bigl(1-\tfrac1K\Bigr)\,Q' =\Bigl(1-\tfrac1K\Bigr)\,C'\,V.
Como C'<C_{\rm cheio}, Q'<Q_{\rm cheio} e portanto Q_b'<Q_b. Ou seja, a carga ligada diminui em proporção à nova capacitância, mas mantém a mesma fração (1-1/K) da carga livre.

Resposta

(a) \displaystyle K=\tfrac43.
(b) Se o capacitor estiver isolado ( Q fixo), a carga ligada não muda; se estiver ligado a bateria ( V fixo), a carga ligada diminui proporcionalmente à redução da capacitância quando o dielétrico ocupa só metade do espaço.

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