Um projétil é lançado a partir de uma altura de 850 m com ângulo de lançamento igual a 53,0^{\circ} acima da horizontal. No ponto mais alto de sua trajetória o módulo de sua velocidade é de 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule:
a) o módulo da velocidade inicial do movimento;
b) o tempo que o projétil fica no ar;
c) os componentes horizontal e vertical da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento de projétil lançado de uma altura inicial de 850 m, com ângulo de lançamento \theta=53,0^\circ. No ponto mais alto da trajetória a componente vertical da velocidade é zero, e nos é dado que ali o módulo da velocidade é 150,m/s. Vamos usar as equações do movimento em duas dimensões com aceleração constante ( g=9,8,m/ s^{2}):
– Na direção horizontal não há aceleração.
– Na direção vertical há aceleração -g.

Passo 2

No ponto mais alto a velocidade é puramente horizontal, logo
v_x = v_0\cos\theta = 150\\ \text{m/s}.
Desse modo
v_0 = \frac{150}{\cos(53,0^\circ)}.

Passo 3

Sabendo que \cos(53,0^\circ)=0{,}6 e \sin(53,0^\circ)=0{,}8, obtemos
v_0 = \frac{150}{0{,}6} = 250\\ \text{m/s},
e a componente vertical inicial
v_{0y} = v_0\sin\theta = 250 \times 0{,}8 = 200\\ \text{m/s}.

Passo 4

Para achar o tempo total de voo, primeiro separamos o tempo de subida até o ápice:
t_{\text{subida}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{200}{9{,}8}\approx20{,}41\\ \text{s}.
A altura máxima em relação ao solo é
y_{\max} = 850 + \frac{v_{0y}^2}{2g} =850 + \frac{200^2}{2\cdot9{,}8} \approx2890{,}8\\ \text{m}.

Passo 5

O tempo de queda desse ponto até o solo satisfaz
y_{\max} = \tfrac12\,g\,t_{\text{queda}}^2 \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{queda}} = \sqrt{\frac{2\,y_{\max}}{g}} \approx24{,}29\\ \text{s}.
Logo o tempo total de voo é
T = t_{\text{subida}} + t_{\text{queda}} \approx20{,}41 + 24{,}29 = 44{,}70\\ \text{s}.

Passo 6

A componente horizontal da velocidade permanece constante em
v_x = 150\\ \text{m/s}.
A componente vertical imediatamente antes do impacto pode ser obtida por
v_y = v_{0y} - g\,T =200 - 9{,}8\times44{,}70 \approx -237{,}9\\ \text{m/s},
indicando que está direcionada para baixo.

Resposta

a) v_0 = 250\\ \text{m/s}
b) T \approx 44{,}7\\ \text{s}
c) v_x = 150\\ \text{m/s}, \displaystyle v_y \approx -238\\ \text{m/s}

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