Exercício 4 (Casos Degenerados). Utilize o discriminante e o \Delta_{3}=\operatorname{det} M (invariante cúbico) para classificar as seguintes equações, indicando se representam cônicas não-degeneradas (elipse, hipérbole, parábola) ou degeneradas (retas, ponto, vazio).
2 x^{2}+3 x y+y^{2}-5 x-3 y+2=0
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a cônica dada por
2x^{2}+3xy+y^{2}-5x-3y+2=0.
Vou listar as informações que temos (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
Coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0:A=2,\quad B=3,\quad C=1,\quad D=-5,\quad E=-3,\quad F=2.
O objetivo: decidir se a curva é uma cônica não-degenerada (elipse, hipérbole, parábola) ou degenerada (pares de retas, ponto, conjunto vazio) e identificar o caso concreto.
Passo 2
Primeiro conceito importante: o discriminante da parte quadrática é
\Delta = B^{2}-4AC.
Esse discriminante indica, grosso modo, a natureza da parte quadrática:
\Delta<0 sugere elipse (ou círculo) ou ponto/vazio;
\Delta=0 sugere parábola (ou degeneração);
\Delta>0 sugere hipérbole (ou pares de retas reais, se degenerada).
Vamos calcular \Delta com os coeficientes listados:
\Delta = 3^{2} - 4\cdot 2\cdot 1 = 9 - 8 = 1.
Como \Delta=1>0, pela análise do sinal do discriminante a cônica tem natureza de hipérbole em princípio — mas ainda precisamos verificar se é degenerada ou não.
Passo 3
Agora o segundo conceito obrigatório: o invariante cúbico \Delta_{3}, que é o determinante da matriz simétrica homogênea ampliada
M=\begin{pmatrix} A & \dfrac{B}{2} & \dfrac{D}{2}\\[6pt] \dfrac{B}{2} & C & \dfrac{E}{2}\\[6pt] \dfrac{D}{2} & \dfrac{E}{2} & F \end{pmatrix}.
Regra prática:
Se \Delta_{3}\neq 0, a cônica é não-degenerada (um conóide real ou imaginário conforme \Delta);
Se \Delta_{3}=0, a cônica é degenerada (p.ex. par de retas, ponto, vazio dependendo de \Delta e outros sinais).
Vamos calcular \Delta_{3}=\det M. Para facilitar cálculos com inteiros, posso multiplicar M por 2 em cada linha/coluna (mais precisamente considerar N=2M); então
Obtivemos \Delta = 1>0, o que indica natureza “hipérbole” para a parte quadrática.
Obtivemos \Delta_{3}=0, o que indica que a cônica é degenerada.
Combinação destas conclusões: quando \Delta>0 e \Delta_{3}=0 a cônica degenerada é um par de retas reais que se intersectam (ou seja, uma “hipérbole degenerada” que é duas retas reais distintas). Para identificar explicitamente essas retas, fatoramos a expressão quadrática.
Passo 6
Fatorização prática: trate a equação como quadrática em y: