Exercício 4 (Casos Degenerados). Utilize o discriminante e o \Delta_{3}=\operatorname{det} M (invariante cúbico) para classificar as seguintes equações, indicando se representam cônicas não-degeneradas (elipse, hipérbole, parábola) ou degeneradas (retas, ponto, vazio).
2 x^{2}+3 x y+y^{2}-5 x-3 y+2=0

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a cônica dada por
2x^{2}+3xy+y^{2}-5x-3y+2=0.
Vou listar as informações que temos (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
  • Coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0: A=2,\quad B=3,\quad C=1,\quad D=-5,\quad E=-3,\quad F=2.
  • O objetivo: decidir se a curva é uma cônica não-degenerada (elipse, hipérbole, parábola) ou degenerada (pares de retas, ponto, conjunto vazio) e identificar o caso concreto.

Passo 2

Primeiro conceito importante: o discriminante da parte quadrática é
\Delta = B^{2}-4AC.
Esse discriminante indica, grosso modo, a natureza da parte quadrática:
  • \Delta<0 sugere elipse (ou círculo) ou ponto/vazio;
  • \Delta=0 sugere parábola (ou degeneração);
  • \Delta>0 sugere hipérbole (ou pares de retas reais, se degenerada).
Vamos calcular \Delta com os coeficientes listados:
\Delta = 3^{2} - 4\cdot 2\cdot 1 = 9 - 8 = 1.
Como \Delta=1>0, pela análise do sinal do discriminante a cônica tem natureza de hipérbole em princípio — mas ainda precisamos verificar se é degenerada ou não.

Passo 3

Agora o segundo conceito obrigatório: o invariante cúbico \Delta_{3}, que é o determinante da matriz simétrica homogênea ampliada
M=\begin{pmatrix} A & \dfrac{B}{2} & \dfrac{D}{2}\\[6pt] \dfrac{B}{2} & C & \dfrac{E}{2}\\[6pt] \dfrac{D}{2} & \dfrac{E}{2} & F \end{pmatrix}.
Regra prática:
  • Se \Delta_{3}\neq 0, a cônica é não-degenerada (um conóide real ou imaginário conforme \Delta);
  • Se \Delta_{3}=0, a cônica é degenerada (p.ex. par de retas, ponto, vazio dependendo de \Delta e outros sinais).
Montando M com os coeficientes:
M=\begin{pmatrix} 2 & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{5}{2}\\[6pt] \dfrac{3}{2} & 1 & -\dfrac{3}{2}\\[6pt] -\dfrac{5}{2} & -\dfrac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular \Delta_{3}=\det M. Para facilitar cálculos com inteiros, posso multiplicar M por 2 em cada linha/coluna (mais precisamente considerar N=2M); então
N=2M=\begin{pmatrix} 4 & 3 & -5\\[4pt] 3 & 2 & -3\\[4pt] -5 & -3 & 4 \end{pmatrix},
e vale \det N = 2^{3}\det M = 8\det M. Portanto \det M = \dfrac{\det N}{8}. Calculo \det N por desenvolvimento:
\begin{aligned} \det N &= 4\begin{vmatrix}2 & -3\\\\ -3 & 4\end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix}3 & -3\\\\ -5 & 4\end{vmatrix} -5\begin{vmatrix}3 & 2\\\\ -5 & -3\end{vmatrix}\\[6pt] &=4(2\cdot 4 - (-3)(-3)) -3(3\cdot 4 - (-3)(-5)) -5(3\cdot(-3) - 2\cdot(-5))\\[6pt] &=4(8-9) -3(12-15) -5(-9+10)\\[6pt] &=4(-1) -3(-3) -5(1)\\[6pt] &=-4 +9 -5 =0. \end{aligned}
Logo \det N=0 e, portanto,
\Delta_{3}=\det M = \dfrac{0}{8}=0.]

Passo 5

Interpretação conjunta dos invariantes:
  • Obtivemos \Delta = 1>0, o que indica natureza “hipérbole” para a parte quadrática.
  • Obtivemos \Delta_{3}=0, o que indica que a cônica é degenerada.
Combinação destas conclusões: quando \Delta>0 e \Delta_{3}=0 a cônica degenerada é um par de retas reais que se intersectam (ou seja, uma “hipérbole degenerada” que é duas retas reais distintas). Para identificar explicitamente essas retas, fatoramos a expressão quadrática.

Passo 6

Fatorização prática: trate a equação como quadrática em y:
y^{2}+(3x-3)y+(2x^{2}-5x+2)=0.
A partir daí, o discriminante em y é
\Delta_{y}=(3x-3)^{2}-4(1)(2x^{2}-5x+2).
Calculemos:
\begin{aligned} \Delta_{y} &= 9x^{2}-18x+9 -8x^{2}+20x-8\\[4pt] &=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. \end{aligned}
Como \Delta_{y}=(x+1)^{2} é um quadrado perfeito, as duas raízes em y são racionais (lineares em x):
y=\frac{-(3x-3)\pm (x+1)}{2}.
Calculando as duas opções:
\begin{aligned} y_{1} &= \frac{-3x+3 + x+1}{2} = \frac{-2x+4}{2} = -x+2,\\[4pt] y_{2} &= \frac{-3x+3 - x-1}{2} = \frac{-4x+2}{2} = -2x+1. \end{aligned}]

Passo 7

Portanto a expressão original se factoriza como produto de duas formas lineares:
2x^{2}+3xy+y^{2}-5x-3y+2=(x+y-2)(2x+y-1).
Posso verificar expandindo o produto (facultativo, mas confere):
(x+y-2)(2x+y-1)=2x^{2}+3xy+y^{2}-5x-3y+2,
que coincide com a expressão dada.
Assim a curva é o conjunto dos pontos que satisfazem
(x+y-2)(2x+y-1)=0,
ou seja, a união das retas x+y-2=0 e 2x+y-1=0.

Passo 8

Confirmando o tipo degenerado: temos duas retas reais distintas que se interceptam. O ponto de interseção resolve o sistema
\begin{cases} x+y-2=0,\\[4pt] 2x+y-1=0, \end{cases}
subtraindo as equações dá -x-1=0 então x=-1 e y=3. As retas intersectam em (-1,3).]

Resposta

Degenerada: par de retas reais x+y-2=0 e 2x+y-1=0.

Exercícios relacionados