Exercício 6. Um chuveiro elétrico tem dois ajustes - “verão” \left(P_{1}=2800 \mathrm{~W}\right) e “inverno” \left(P_{2}=5500 \mathrm{~W}\right) - e é alimentado em 220 V . Calcule a resistência efetiva em cada modo e estime a relação entre as correntes drenadas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Ajuste “verão”: P_{1}=2800\\ \mathrm{W}.
  • Ajuste “inverno”: P_{2}=5500\\ \mathrm{W}.
  • Tensão de alimentação: V=220\\ \mathrm{V}.
O que pede:
  1. Calcular a resistência efetiva em cada modo (ou seja, R_1 para P_1 e R_2 para P_2).
  2. Estimar a relação entre as correntes drenadas nos dois modos (ou seja, \dfrac{I_2}{I_1}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadinho passo a passo):
  • A potência elétrica dissipada por uma resistência, quando a tensão sobre ela é V e a corrente que passa é I, obedece a \displaystyle P = V I. Aqui:
    • P é a potência em watts ( \mathrm{W}),
    • V é a tensão em volts ( \mathrm{V}),
    • I é a corrente em ampères ( \mathrm{A}).
  • Pela Lei de Ohm vale \displaystyle V = R I, onde R é a resistência em ohms ( \Omega).
  • Substituindo I=V/R em P=VI obtém-se a versão que relaciona potência, tensão e resistência: P = V\left(\frac{V}{R}\right) = \frac{V^2}{R}.Dessa fórmula podemos isolar R: R=\frac{V^2}{P}.E também é prático usar I=\dfrac{P}{V} para calcular correntes diretamente quando P e V são conhecidos.

Passo 3

Cálculo de R_1 (modo “verão”):
  • Usamos \displaystyle R_1=\frac{V^2}{P_1}.
  • Primeiro calcule V^2: 220^2=48400.
  • Então R_1=\frac{48400}{2800}.
  • Simplificando a fração: \dfrac{48400}{2800}=\dfrac{484}{28}=\dfrac{121}{7}.
  • Em forma decimal: R_1=\frac{121}{7}\\ \Omega\approx 17,2857\\ \Omega.

Passo 4

Cálculo de R_2 (modo “inverno”):
  • Usamos \displaystyle R_2=\frac{V^2}{P_2}=\frac{48400}{5500}.
  • Simplificando: \frac{48400}{5500}=\frac{484}{55}=8{,}8.
  • Portanto R_2=8{,}8\\ \Omega.

Passo 5

Cálculo das correntes em cada modo (útil para obter a razão):
  • Corrente no modo “verão”: I_1=\frac{P_1}{V}=\frac{2800}{220}=\frac{140}{11}\\ \mathrm{A}\approx 12{,}7273\\ \mathrm{A}.
  • Corrente no modo “inverno”: I_2=\frac{P_2}{V}=\frac{5500}{220}=25\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Relação entre as correntes:
  • Como I=\dfrac{P}{V} e a tensão V é a mesma nos dois modos, a razão das correntes é simplesmente a razão das potências: \frac{I_2}{I_1}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{5500}{2800}=\frac{55}{28}\approx 1{,}9643.
  • Observação alternativa: usando I=V/R, tem-se \dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{R_1}{R_2}, que dá o mesmo resultado numericamente (confirmação útil em prova).

Resposta

R_1=\dfrac{220^2}{2800}=\dfrac{121}{7}\\ \Omega\approx 17,2857\\ \Omega,\quad R_2=\dfrac{220^2}{5500}=8{,}8\\ \Omega
\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{5500}{2800}=\dfrac{55}{28}\approx 1{,}9643

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