Exercício 7. Um resistor comercial de 1 / 4 \mathrm{~W} é especificado em 470 \Omega \pm 5 \%. Qual é a tensão máxima que pode ser aplicada a esse resistor sem comprometer sua integridade térmica? Qual é a corrente máxima admissível?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Resistor com potência máxima nominal P_{\max}= \tfrac{1}{4}\\ \mathrm{W}=0,25\\ \mathrm{W}.
  • Resistência nominal R_{\rm nom}=470\\ \Omega com tolerância \pm 5\%.
O que é pedido:
  • A tensão máxima que pode ser aplicada ao resistor sem comprometer sua integridade térmica.
  • A corrente máxima admissível pelo resistor.

Passo 2

Principais fórmulas e o que cada símbolo significa (mini-aula rápida, sem pressa):
  • A potência dissipada por um resistor pode ser escrita de três formas equivalentes: P=\frac{V^{2}}{R}, \qquad P=I^{2}R, \qquad P=VI,onde \,P é a potência dissipada (em watts), \,V é a tensão aplicada (em volts), \,I é a corrente que atravessa o resistor (em ampères) e \,R é a resistência (em ohms).
  • Da primeira relação obtemos a tensão máxima que não ultrapassa a potência: V_{\max}=\sqrt{P_{\max}\,R}.Aqui atenção: para garantir que nenhum resistor dentro da faixa de tolerância sofra dano, deve-se usar o valor de resistência que dá a maior potência para uma dada tensão. Como \,P=V^{2}/R cresce quando R diminui (para tensão fixa), o caso mais crítico para tensão é o da menor resistência possível ( R_{\min}).
  • Da segunda relação obtemos a corrente máxima que não ultrapassa a potência: I_{\max}=\sqrt{\frac{P_{\max}}{R}}.Aqui a observação inversa: para corrente fixa a potência aumenta quando R aumenta (pois P=I^{2}R), então para garantir segurança em toda a faixa de tolerância devemos usar a maior resistência possível ( R_{\max}) ao calcular I_{\max}.
Resumo prático do critério de segurança:
  • Tensão máxima: calcular com R_{\min}.
  • Corrente máxima: calcular com R_{\max}.

Passo 3

Calcular os extremos da resistência a partir da tolerância \pm 5\%:
R_{\min}=R_{\rm nom}\cdot(1-0,05)=470\cdot0,95=446,5\\ \Omega,
R_{\max}=R_{\rm nom}\cdot(1+0,05)=470\cdot1,05=493,5\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a tensão máxima conservadora (usar R_{\min}):
V_{\max}=\sqrt{P_{\max}\,R_{\min}}=\sqrt{0,25\cdot446,5}.
Fazendo a conta:
0,25\cdot446,5=111,625,
V_{\max}=\sqrt{111,625}\approx10,57\\ \mathrm{V}.
Interpretando: se aplicar mais de aproximadamente 10,57\\ \mathrm{V} a um resistor que na prática tem R=446,5\\ \Omega, a potência dissipada ultrapassará 0,25\\ \mathrm{W} e o resistor pode superaquecer.

Passo 5

(Para comparação rápida) Se alguém usar só o valor nominal R_{\rm nom}=470\\ \Omega, obterá
V_{\max,\rm nom}=\sqrt{0,25\cdot470}\approx10,84\\ \mathrm{V},
mas esse valor não é conservador: ele permitiria tensão excessiva caso o resistor real esteja na extremidade baixa da tolerância. Por isso usamos 10,57\\ \mathrm{V} como limite seguro.

Passo 6

Calcular a corrente máxima conservadora (usar R_{\max}):
I_{\max}=\sqrt{\frac{P_{\max}}{R_{\max}}}=\sqrt{\frac{0,25}{493,5}}.
Fazendo a conta:
\frac{0,25}{493,5}\approx0,000506575,
I_{\max}\approx\sqrt{0,000506575}\approx0,02251\\ \mathrm{A}=22,51\\ \mathrm{mA}.
Interpretação: correntes acima de aproximadamente 22{,}5\\ \mathrm{mA} farão com que um resistor na extremidade alta da tolerância ( 493{,}5\\ \Omega) dissipe mais de 0,25\\ \mathrm{W}.

Passo 7

(Comparações rápidas)
  • Usando R_{\rm nom}=470\\ \Omega teria I_{\max,\rm nom}=\sqrt{0,25/470}\approx23,06\\ \mathrm{mA}.
  • Usando R_{\min}=446,5\\ \Omega teria I_{\max}\approx23,67\\ \mathrm{mA}.
    Esses são úteis para ter noção, mas os valores conservadores para segurança são os calculados nos passos anteriores.

Passo 8

Conclusão prática e dica para a prova: calcule sempre usando a extremidade da tolerância que piora a desigualdade:
  • Para V (quando aparece V^2/R) use R_{\min}.
  • Para I (quando aparece I^2R) use R_{\max}.
    Isso evita contra-exemplos práticos (resistor mais baixo que o nominal queimando, ou resistor mais alto sobreaquecendo por corrente).

Resposta

V_{\max}=10,57\\ \mathrm{V}
I_{\max}=22,51\\ \mathrm{mA}

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