Exercício 1: A família dos círculos e elipses
Considere a parametrização
.
Descreva a orientação da curva (sentido do percurso) para
crescente. O que acontece se trocarmos sen
por sen
na segunda componente? (Teste!)
Considere a parametrização
Descreva a orientação da curva (sentido do percurso) para
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização da elipse (ou círculo, se
)
e pede para descrever o sentido de percurso (orientação) quando
aumenta. Depois, quer saber o que muda se trocarmos
por
na segunda componente.
Passo 2
Para descobrir o sentido de percurso de
, avaliamos pontos-chave:
- Em ,
.
- Em ,
.
- Em ,
.
- Em ,
.
- Em , volta a
.
Como, ao aumentar , passamos de
para
para
para
e retornamos a
, o percurso é no sentido anti-horário (counterclockwise).
- Em
- Em
- Em
- Em
- Em
Como, ao aumentar
Passo 3
Agora façamos a troca
. A parametrização vira
Repetindo os pontos-chave:
- .
- Para pequeno e positivo,
implica
, então saímos de
descendo pela parte de baixo da curva.
- Em ,
.
- Em ,
.
- Em ,
.
- Em , de novo
.
Isso mostra que o percurso agora é horário (clockwise). Geometricamente, trocamos a elipse original por sua reflexão em relação ao eixo , invertendo a orientação.
-
- Para
- Em
- Em
- Em
- Em
Isso mostra que o percurso agora é horário (clockwise). Geometricamente, trocamos a elipse original por sua reflexão em relação ao eixo
Resposta
A parametrização original
descreve a curva no sentido anti-horário. Ao usar
na segunda componente, a elipse fica refletida no eixo
e o sentido passa a ser horário.