Exercício 1: A família dos círculos e elipses
Considere a parametrização σ(t)=(a \cos t, b \operatorname{sen} t), \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].
Descreva a orientação da curva (sentido do percurso) para t crescente. O que acontece se trocarmos sen (t) por sen (-t) na segunda componente? (Teste!)

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização da elipse (ou círculo, se a=b)
\sigma(t)=(a\cos t,\;b\sin t),\quad t\in[0,2\pi],
e pede para descrever o sentido de percurso (orientação) quando t aumenta. Depois, quer saber o que muda se trocarmos \sin t por \sin(-t) na segunda componente.

Passo 2

Para descobrir o sentido de percurso de \sigma(t), avaliamos pontos-chave:
- Em t=0, \sigma(0)=(a,0).
- Em t=\tfrac{\pi}{2}, \sigma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,b).
- Em t=\pi, \sigma(\pi)=(-a,0).
- Em t=\tfrac{3\pi}{2}, \sigma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(0,-b).
- Em t=2\pi, volta a (a,0).
Como, ao aumentar t, passamos de (a,0) para (0,b) para (-a,0) para (0,-b) e retornamos a (a,0), o percurso é no sentido anti-horário (counterclockwise).

Passo 3

Agora façamos a troca \sin t\mapsto\sin(-t). A parametrização vira
\tilde\sigma(t)=\bigl(a\cos t,\;b\sin(-t)\bigr) =\bigl(a\cos t,\;-b\sin t\bigr).
Repetindo os pontos-chave:
- \tilde\sigma(0)=(a,0).
- Para t pequeno e positivo, \sin t>0 implica -b\sin t<0, então saímos de (a,0) descendo pela parte de baixo da curva.
- Em t=\tfrac{\pi}{2}, \tilde\sigma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,-b).
- Em t=\pi, \tilde\sigma(\pi)=(-a,0).
- Em t=\tfrac{3\pi}{2}, \tilde\sigma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(0,b).
- Em t=2\pi, de novo (a,0).
Isso mostra que o percurso agora é horário (clockwise). Geometricamente, trocamos a elipse original por sua reflexão em relação ao eixo x, invertendo a orientação.

Resposta

A parametrização original \sigma(t)=(a\cos t,b\sin t) descreve a curva no sentido anti-horário. Ao usar \sin(-t) na segunda componente, a elipse fica refletida no eixo x e o sentido passa a ser horário.

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