Exercício 1: A família dos círculos e elipses
Considere a parametrização σ(t)=(a \cos t, b \operatorname{sen} t), \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].
Mantendo a=2, plote as curvas para b=1, b=2 e b=3 no mesmo sistema de eixos. O que o parâmetro b controla?

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização \sigma(t)=(a\cos t,\;b\sin t), t\in[0,2\pi],
pede para manter a=2 e traçar no mesmo plano as três curvas para b=1, b=2 e b=3, e então identificar o que o parâmetro b faz.

Passo 2

Substituindo a=2 temos
\sigma(t)=(2\cos t,\;b\sin t).
Como t varia de 0 a 2\pi, o ponto \sigma(t) percorre uma elipse centrada na origem. O valor máximo de x é 2 e mínimo é -2, então o semieixo horizontal vale 2. O valor máximo de y é b e mínimo é -b, então o semieixo vertical vale b.

Passo 3

Para cada caso temos:
b=1: elipse com semieixos horizontal 2 e vertical 1, mais achatada no eixo y.
b=2: elipse com semieixos 2 e 2, ou seja, um círculo de raio 2.
b=3: elipse com semieixos 2 e 3, esticada verticalmente.
No mesmo sistema de eixos, a curva de b=1 fica “achatada” em y, a de b=2 é um círculo, e a de b=3 fica esticada para cima e para baixo.

Passo 4

Comparando os três desenhos, vemos que aumentar b faz a curva se estender mais na direção vertical. Se b diminui, a elipse fica mais “achatada” em y.

Resposta

O parâmetro b controla o semieixo vertical da elipse, isto é, a “altura” máxima e mínima da curva ao longo do eixo y.

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