Exercício 1: A família dos círculos e elipses
Considere a parametrização
.
Mantendo
, plote as curvas para
e
no mesmo sistema de eixos. O que o parâmetro
controla?
Considere a parametrização
Mantendo
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
,
,
pede para manter e traçar no mesmo plano as três curvas para
,
e
, e então identificar o que o parâmetro
faz.
pede para manter
Passo 2
Substituindo
temos
Como
varia de
a
, o ponto
percorre uma elipse centrada na origem. O valor máximo de
é
e mínimo é
, então o semieixo horizontal vale
. O valor máximo de
é
e mínimo é
, então o semieixo vertical vale
.
Passo 3
Para cada caso temos:
–
: elipse com semieixos horizontal
e vertical
, mais achatada no eixo
.
– : elipse com semieixos
e
, ou seja, um círculo de raio
.
– : elipse com semieixos
e
, esticada verticalmente.
–
–
No mesmo sistema de eixos, a curva de
fica “achatada” em
, a de
é um círculo, e a de
fica esticada para cima e para baixo.
Passo 4
Comparando os três desenhos, vemos que aumentar
faz a curva se estender mais na direção vertical. Se
diminui, a elipse fica mais “achatada” em
.
Resposta
O parâmetro
controla o semieixo vertical da elipse, isto é, a “altura” máxima e mínima da curva ao longo do eixo
.